(2010•揚(yáng)州二模)如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等邊三角形,E是AB的中點(diǎn),連接CE并延長(zhǎng)交AD于F.
(1)求證:△AEF≌△BEC;
(2)判斷四邊形BCFD是何特殊四邊形,并說(shuō)出理由;
(3)如圖2,將四邊形ACBD折疊,使D與C重合,HK為折痕,求tan∠ACH的值.
分析:(1)①在△ABC中,由已知可得∠ABC=60°,從而推得∠BAD=∠ABC=60°.由E為AB的中點(diǎn),得到AE=BE.又因?yàn)椤螦EF=∠BEC,所以△AEF≌△BEC.
(2)在Rt△ABC中,E為AB的中點(diǎn),則CE=
1
2
AB,BE=
1
2
AB,得到∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF≌△BEC,得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°,得∠AFE=∠D=60度.所以FC∥BD,又因?yàn)椤螧AD=∠ABC=60°,所以AD∥BC,即FD∥BC,則四邊形BCFD是平行四邊形.
(3)在Rt△ABC中,設(shè)BC=a,則AB=2BC=2a,AD=AB=2a.設(shè)AH=x,則HC=HD=AD-AH=2a-x.在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2=3a2.在Rt△ACH中,由勾股定理得AH2+AC2=HC2,即x2+3a2=(2a-x)2.解得x
1
4
a,即AH=
1
4
a,求得HC的值后,利用tan∠ACH=
AH
AC
求值.
解答:(1)證明:在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,
∴∠ABC=60°.
在等邊△ABD中,∠BAD=60°,
∴∠BAD=∠ABC=60°.
∵E為AB的中點(diǎn),
∴AE=BE,
在△AEF和△BEC中
∠FAE=∠CBE
AE=BE
∠AEF=∠CEB
,
∴△AEF≌△BEC(ASA).

(2)解:四邊形BCFD是平行四邊形,
理由是:在△ABC中,∠ACB=90°,E為AB的中點(diǎn),
∴CE=
1
2
AB,BE=
1
2
AB,
∴∠BCE=∠EBC=60°.
又∵△AEF≌△BEC,
∴∠AFE=∠BCE=60°.
又∵∠D=60°,
∴∠AFE=∠D=60°.
∴FC∥BD.
又∵∠BAD=∠ABC=60°,
∴AD∥BC,即FD∥BC.
∴四邊形BCFD是平行四邊形.

(3)解:∵∠BAD=60°,∠CAB=30°,
∴∠CAH=90°.
在Rt△ABC中,∠CAB=30°,設(shè)BC=a,
∴AB=2BC=2a.
∴AD=AB=2a.
設(shè)AH=x,則HC=HD=AD-AH=2a-x,
在Rt△ABC中,AC2=(2a)2-a2=3a2
AC=
3
a,
在Rt△ACH中,AH2+AC2=HC2,即x2+3a2=(2a-x)2,
解得x=
1
4
a,
即AH=
1
4
a,
∴HC=2a-x=2a-
1
4
a=
7
4
a,
∴tan∠ACH=
AH
AC
=
1
4
a
3
a
=
3
12
點(diǎn)評(píng):本題考查了折疊的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,等邊三角形性質(zhì),含30度角的直角三角形性質(zhì),勾股定理,平行線的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,注意:折疊的性質(zhì):折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換,它屬于軸對(duì)稱(chēng),根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2010•揚(yáng)州二模)如圖,早上10點(diǎn)小東測(cè)得某樹(shù)的影長(zhǎng)為2m,到了下午5時(shí)又測(cè)得該樹(shù)的影長(zhǎng)為8m,若兩次日照的光線互相垂直,則樹(shù)的高度約為
4
4
m.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)模擬試卷(解析版) 題型:解答題

(2010•揚(yáng)州二模)(1)如圖1,已知∠AOB,OA=OB,點(diǎn)E在OB邊上,四邊形AEBF是平行四邊形,請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺在圖中畫(huà)出∠AOB的平分線;(保留作圖痕跡,不要求寫(xiě)作法)
(2)如圖2,在10×10的正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)A(0,0)、B(5,0)、C(3,6)、D(-1,3),
①依次連接A、B、C、D四點(diǎn)得到四邊形ABCD,四邊形ABCD的形狀是______;
②在x軸上找一點(diǎn)P,使得△PCD的周長(zhǎng)最短(直接畫(huà)出圖形,不要求寫(xiě)作法),此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____,最短周長(zhǎng)為_(kāi)_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年浙江省杭州市蕭山區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試卷16(城南初中 倪海峰 董正丹)(解析版) 題型:解答題

(2010•揚(yáng)州二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,點(diǎn)A在y軸上坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)B在x軸上坐標(biāo)為(10,0),BC⊥x軸,直線AC交x軸于M,tan∠ACB=2.
(1)求直線AC的解析式;
(2)點(diǎn)P在線段OB上,設(shè)OP=x,△APC的面積為S.請(qǐng)寫(xiě)出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;
(3)探索:在線段OB上是否存在一點(diǎn)P,使得△APC是直角三角形?若存在,求出x的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(4)當(dāng)x=4時(shí),設(shè)頂點(diǎn)為P的拋物線與y軸交于D,且△PAD是等腰三角形,求該拋物線的解析式.(直接寫(xiě)出結(jié)果)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009年江蘇省無(wú)錫市惠山區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷(解析版) 題型:解答題

(2010•揚(yáng)州二模)(1)如圖1,已知∠AOB,OA=OB,點(diǎn)E在OB邊上,四邊形AEBF是平行四邊形,請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺在圖中畫(huà)出∠AOB的平分線;(保留作圖痕跡,不要求寫(xiě)作法)
(2)如圖2,在10×10的正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)A(0,0)、B(5,0)、C(3,6)、D(-1,3),
①依次連接A、B、C、D四點(diǎn)得到四邊形ABCD,四邊形ABCD的形狀是______;
②在x軸上找一點(diǎn)P,使得△PCD的周長(zhǎng)最短(直接畫(huà)出圖形,不要求寫(xiě)作法),此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____,最短周長(zhǎng)為_(kāi)_____

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案