已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交CB,DC(或它們的延長線)于點(diǎn)M,N.
(1)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(如圖1),求證:BM+DN=MN;
(2)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(如圖2),則線段BM,DN和MN之間數(shù)量關(guān)系是______;
(3)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時,猜想線段BM,DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢?并對你的猜想加以說明.

【答案】分析:(1)延長CB到E,使BE=DN,連接AE,根據(jù)SAS證△ABE≌△ADN,推出AE=AN,∠DAN=∠BAE,求出∠NAM=∠MAE,根據(jù)SAS證出△NAM≌△EAM即可;
(2)證法與(1)類似,延長CB到E,使BE=DN,連接AE,根據(jù)SAS證△ABE≌△ADN,推出AE=AN,∠DAN=∠BAE,求出∠NAM=∠MAE,根據(jù)SAS證出△NAM≌△EAM即可;
(3)在CD上截取DE=BM,連接AE,根據(jù)SAS證△ADE≌△ABM,推出AE=AM,∠DAE=∠MAB,求出∠EAN=∠MAN,根據(jù)SAS證出△MAN≌△EAN即可.
解答:(1)證明:如圖1,延長CB至E使得BE=DN,連接AE,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠D=∠ABC=90°=∠ABE,
在△ADN和△ABE中

△ABE≌△ADN(SAS),
∴∠BAE=∠DAN,AE=AN,
∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°,
∵∠MAN=45°,
∴∠EAM=∠MAN,
∵在△EAM和△NAM中
,
∴△EAM≌△NAM,
∴MN=ME,
∵M(jìn)E=BM+BE=BM+DN,
∴BM+DN=MN;

(2)解:線段BM,DN和MN之間數(shù)量關(guān)系是BM+DN=MN,理由如下:
延長CB至E,使得BE=DN,連接AE,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠D=∠ABC=90°=∠ABE,
在△ADN和△ABE中,

∴△ABE≌△ADN(SAS),
∴∠BAE=∠DAN,AE=AN,
∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°,
∵∠MAN=45°,
∴∠EAM=∠MAN,
∵在△EAM和△NAM中
,
∴△EAM≌△NAM,
∴MN=ME,
∵M(jìn)E=BM+BE=BM+DN,
∴BM+DN=MN,
故答案為:BM+DN=MN;

(3)DN-BM=MN,理由如下:
如圖3,在DC上截取DE=BM,連接AE,
由(1)知△ADE≌△ABM(SAS),
∴∠DAE=∠BAM,AE=AM,
∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°,
∵∠MAN=45°,
∴∠EAN=∠MAN.
∵在△MAN和△EAN中,
,
∴△MAN≌△EAN(SAS),
∴EN=MN,
即DN-DE=MN,
∴DN-BM=MN.
點(diǎn)評:本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,此題比較典型,具有一定的代表性,且證明過程類似,同時通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的猜想能力和類比推理能力.
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6
.下列結(jié)論:
①△APD≌△AEB﹔②點(diǎn)B到直線AE的距離為
3
﹔③EB⊥ED﹔④S△APD+S△APB=0.5+
2

其中正確結(jié)論的序號是( 。

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