【題目】如圖,P為邊長為2的正方形ABCD的對(duì)角線BD上任一點(diǎn),過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E,PF⊥CD于點(diǎn)F,連接EF.給出以下4個(gè)結(jié)論:①AP=EF;②AP⊥EF;③EF最短長度為;④若∠BAP=30°時(shí),則EF的長度為2.其中結(jié)論正確的有( 。
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④
【答案】A
【解析】
連接PC,可證得△ABP≌△CBP,結(jié)合矩形的性質(zhì),可證得PA=EF,國判斷①;延長AP交BC于點(diǎn)G,可證得AP⊥EF,可判斷②;求得AP的最小值即可求得EF的最短長度,可判斷③;當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B或點(diǎn)D時(shí),AP有最大值2,則可判斷④;可求得答案.
解:
①如圖,連接PC,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,
在△ABP和△CBP中
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴AP=PC,
∵PE⊥BC,PF⊥CD,且∠FCE=90°,
∴四邊形PECF為矩形,
∴PC=EF,
∴AP=EF,故①正確;
②延長AP交BC于點(diǎn)G,
由①可得∠PCE=∠PFE=∠BAP,
∵PE∥AB,
∴∠EPG=∠BAP,
∴∠EPG=∠PFE,
∵∠EPF=90°,
∴∠EPG+∠PEF=∠PEG+∠PFE=90°,
∴AP⊥EF,故②正確;
③當(dāng)AP⊥BD時(shí),AP有最小值,此時(shí)P為BD的中點(diǎn),
由①可知EF=AP,
∴EF的最短長度為,故③正確;
④當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B或點(diǎn)D位置時(shí),AP=AB=2,
∴EF=AP≤2,
∴當(dāng)∠BAP=30°時(shí),AP<2,
即EF的長度不可能為2,故④不正確;
綜上可知正確的結(jié)論為①②③,
故選:A.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:A(0,1),B(2,0),C(4,3)
(1)在直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn),畫出△ABC.
(2)求△ABC的面積;
(3)設(shè)點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上,且△ABP與△ABC的面積相等,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠CAB=∠CBA,過點(diǎn)A向右作AD∥BC,點(diǎn)E是射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠ACE的平分線交BA的延長線于點(diǎn)F.
(1)若∠ACB=40°,∠ACE=38°,求∠F的度數(shù);
(2)在動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中,的值是否發(fā)生變化?若不變,求它的值;若變化,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與探究
問題情境:如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D,E分別是邊AB,AC上的點(diǎn),且AD=AE,連接DE,易知BD=CE.將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α(0°<α<360°),連接BD,CE,得到圖2.
(1)變式探究:如圖2,若0°<α<90°,則BD=CE的結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說明理由;
(2)拓展延伸:若圖1中的∠BAC=120°,其余條件不變,請(qǐng)解答下列問題:
從A,B兩題中任選一題作答我選擇 題
A.①在圖1中,若AB=10,求BC的長;
②如圖3,在△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)DE的延長線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),請(qǐng)直接寫出線段AD,BD,CD之間的等量關(guān)系;
B.①在圖1中,試探究BC與AB的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
②在△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)點(diǎn)D,E,C三點(diǎn)在同一條直線上時(shí),請(qǐng)借助備用圖探究線段AD,BD,CD之間的等量關(guān)系,并直接寫出結(jié)果.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明和小亮分別從甲地和乙地同時(shí)出發(fā),沿同一條路相向而行,小明開始跑步,中途改為步行,到達(dá)乙地恰好用小亮騎自行車以的速度直接到甲地,兩人離甲地的路程與各自離開出發(fā)地的時(shí)間之間的函數(shù)圖象如圖所示,
甲、乙兩地之間的路程為______m,小明步行的速度為______;
求小亮離甲地的路程y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,并寫出自變量x的取值范圍;
求兩人相遇的時(shí)間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的直徑為AB,點(diǎn)C在圓周上(異于A,B),AD⊥CD.
(1)若BC=3,AB=5,求AC的值;
(2)若AC是∠DAB的平分線,求證:直線CD是⊙O的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知有甲、乙兩個(gè)長方形,它們的邊長如圖所示(m為正整數(shù)),面積分別為S1、S2.
(1)請(qǐng)比較S1與S2的大小: S1 S2;
(2)若一個(gè)正方形與甲的周長相等.
①求該正方形的邊長(用含m的代數(shù)式表示);
②若該正方形的面積為S3,試探究:S3與S1的差(即S3﹣S1)是否為常數(shù)?若為常數(shù),求出這個(gè)常數(shù);如果不是,請(qǐng)說明理由;
(3)若滿足條件0<n<|S1﹣S2|的整數(shù)n有且只有8個(gè),直接寫出m的值并分別求出S1與S2的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,請(qǐng)結(jié)合圖,探索這兩個(gè)角之間的關(guān)系,并說明理由.
(1)如圖①,AB∥CD,BE∥DF,∠1與∠2的關(guān)系是 ;
證明:
(2)如圖②,AB∥CD,BE∥DF,∠1與∠2的關(guān)系是 ;
證明:
(3)經(jīng)過上述證明,我們可得出結(jié)論,如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩個(gè)角 ;
(4)若這兩個(gè)角的兩邊分別平行,且一個(gè)角比另一個(gè)角的3倍少60°,則這兩個(gè)角分別是多少度?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC.
(1)若∠B=72°,∠C=30°,①求∠BAE的度數(shù);②求∠DAE的度數(shù);
(2)探究:如果只知道∠B=∠C+42°,也能求出∠DAE的度數(shù)嗎?若能,請(qǐng)你寫出求解過程;若不能,請(qǐng)說明理由.
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