Question

【題目】已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B、C分別為坐標(biāo)軸上上的三個(gè)點(diǎn)，且OA=1，OB=3，OC=4，

（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否存在一點(diǎn)P，使得以以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）若點(diǎn)M為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在（2）的條件下，請(qǐng)求出當(dāng)|PM﹣AM|的最大值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)，并直接寫出|PM﹣AM|的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）（5，3）；（3）（1，0）或（﹣5，﹣）；最大值為5.

【解析】試題分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，把A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a，b，c的值，即可確定出所求拋物線解析式；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，理由為：根據(jù)OA，OB，OC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出BC與AC的長(zhǎng)相等，只有當(dāng)BP與AC平行且相等時(shí)，四邊形ACBP為菱形，可得出BP的長(zhǎng)，由OB的長(zhǎng)確定出P的縱坐標(biāo)，確定出P坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)P在第二、三象限時(shí)，以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形；（3）利用待定系數(shù)法確定出直線PA解析式，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不在同一直線上時(shí)，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系|PM﹣AM|＜PA，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A在同一直線上時(shí)，|PM﹣AM|=PA，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A在同一直線上時(shí)，|PM﹣AM|的值最大，即點(diǎn)M為直線PA與拋物線的交點(diǎn)，聯(lián)立直線AP與拋物線解析式，求出當(dāng)|PM﹣AM|的最大值時(shí)M坐標(biāo)，確定出|PM﹣AM|的最大值即可．

試題解析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c， ∵A（1，0）B（0，3）C（﹣4，0），

∴， 解得：a=﹣，b=﹣，c=3，

∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+3；

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，理由為：

∵OB=3，OC=4，OA=1， ∴BC=AC=5， 當(dāng)BP平行且等于AC時(shí)，四邊形ACBP為菱形，

∴BP=AC=5，且點(diǎn)P到x軸的距離等于OB， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，3），

當(dāng)點(diǎn)P在第二、三象限時(shí)，以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形，

則當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，3）時(shí)，以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形；

（3）設(shè)直線PA的解析式為y=kx+b（k≠0）， ∵A（1，0），P（5，3），

∴， 解得：k=，b=﹣， ∴直線PA的解析式為y=x﹣，

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不在同一直線上時(shí)，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系|PM﹣AM|＜PA，

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A在同一直線上時(shí)，|PM﹣AM|=PA，

∴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A在同一直線上時(shí)，|PM﹣AM|的值最大，即點(diǎn)M為直線PA與拋物線的交點(diǎn)，

解方程組，得或，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）或（﹣5，﹣）時(shí)，|PM﹣AM|的值最大，此時(shí)|PM﹣AM|的最大值為5．