Question

12．如圖，△ABC為等腰直角三角形，AC=BC，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC延長線上一點(diǎn)，且CE=CD，連接AE交BD延長線于點(diǎn)F，點(diǎn)G為AB中點(diǎn)，連接CF，F(xiàn)G，GC，下列四個(gè)結(jié)論：①AE=BD；②△ABF≌△EBF；③∠CFE=45°；④S_△AGF=S_△BGC．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)SAS可以證明△BCD≌△ACE得BD=AE故①正確，由△EBF∽△EAC得$\frac{EF}{EC}=\frac{EB}{EA}$所以$\frac{EF}{EB}=\frac{EC}{EA}$推出△EFC∽△EBA得∠EFC=∠EBA=45°故③正確，點(diǎn)D是AC上任意一點(diǎn)，由∠ABF與∠EBF不一定相等，故②錯(cuò)誤，因?yàn)椤螩FE≠∠BAE，所以AB與CF不平行，所以S_△BGF≠S_△BGC，因?yàn)镾_△AGF=S_△BGF所以S_△AGF≠S_△BGC，故④錯(cuò)誤，．

解答 解：∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
在△BCD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE=90°}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE，
∴BD=AE故①正確，
∴∠CBD=∠CAE，
∵∠CBD+∠CDB=90°，∠CDB=∠ADFM，
∴∠CAE+∠ADF=90°，
∴∠AFD=90°，
∵∠E=∠E，∠ACE=∠BFE=90°，
∴△EBF∽△EAC，
∴$\frac{EF}{EC}=\frac{EB}{EA}$，
∴$\frac{EF}{EB}=\frac{EC}{EA}$，
∵∠E=∠E，
∴△EFC∽△EBA，
∴∠EFC=∠EBA=45°故③正確，
∵點(diǎn)D是AC上任意一點(diǎn)，
∴∠ABF與∠EBF不一定相等，故②錯(cuò)誤，
∵∠CFE≠∠BAE，
∴AB與CF不平行，
∴S_△BGF≠S_△BGC，
∵S_△AGF=S_△BGF
∴S_△AGF≠S_△BGC，故④錯(cuò)誤．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及等積問題，靈活運(yùn)用相似三角形是解題的關(guān)鍵．