Question

【題目】如圖，某校園內(nèi)有一塊菱形的空地ABCD，為了美化環(huán)境，現(xiàn)要進(jìn)行綠化，計(jì)劃在中間建設(shè)一個(gè)面積為S的矩形綠地EFGH.其中，點(diǎn)E，F，G，H分別在菱形的四條邊上，AB＝a米，BE＝BF＝DG＝DH＝x米，∠A＝60°.

(1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

(2)若a＝100，求S的最大值，并求出此時(shí)x的值．

Answer 1

【答案】（1）S＝－x2＋ax (0＜x＜a)；（2）2 500.

【解析】試題分析：設(shè)BE=x,∠A＝60°，AGE是等邊三角形,可得GE, ∠ADC＝120°利用特殊直角三角形可以求得HG的長(zhǎng)，所以可求得S面積.

(2)配方二次函數(shù)求最值，此時(shí)需要注意定義域問(wèn)題.

試題解析：(1)∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝AD＝a米．

∵BE＝BF＝DH＝DG＝x米，∠A＝60°，

∴AE＝AG＝(a－x)米，∠ADC＝120°.

∴△AGE是等邊三角形，即GE＝(a－x)米．

過(guò)點(diǎn)D作DP⊥HG于點(diǎn)P.

∴HG＝2HP，∠HDP＝∠ADC＝60°，則HG＝2HP＝2DHsin∠HDP＝2x× ＝x(米)．

∴S＝x(a－x)＝－x2＋ax (0＜x＜a)．

(2)當(dāng)a＝100時(shí)，S＝－x2＋100x＝－ (x－50)2＋2 500.

∴當(dāng)x＝50時(shí)，S取得最大值，最大值為2 500.