已知x1,x2是關(guān)于x的方程(x-2)(x-m)=(p-2)(p-m)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
(1)求x1,x2的值;
(2)若x1,x2是某直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng),問(wèn)當(dāng)實(shí)數(shù)m,p滿足什么條件時(shí),此直角三角形的面積最大?并求出其最大值.
分析:(1)化簡(jiǎn)方程,用分解因式法求出兩根;
(2)直角三角形的面積為
1
2
x1x2,利用根與系數(shù)的關(guān)系可以得到關(guān)于p的關(guān)系式,然后利用二次函數(shù)可以求出什么時(shí)候有最大值.
解答:解:(1)原方程變?yōu)椋簒2-(m+2)x+2m=p2-(m+2)p+2m,
∴x2-p2-(m+2)x+(m+2)p=0,
(x-p)(x+p)-(m+2)(x-p)=0,
即(x-p)(x+p-m-2)=0,
∴x1=p,x2=m+2-p;

(2)根據(jù)(1)得到
直角三角形的面積為
1
2
x1x2=
1
2
p(m+2-p)
=-
1
2
p2+
1
2
(m+2)p
=-
1
2
(p-
m+2
2
2+
(m+2)2
8
,
∴當(dāng)p=
m+2
2
(m>-2)時(shí),以x1,x2為兩直角邊長(zhǎng)的直角三角形的面積最大,最大面積為
(m+2)2
8
1
2
p2
點(diǎn)評(píng):本題是綜合性較強(qiáng)的題,利用了分解因式法求方程的根,利用了二次函數(shù)求最值.
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