(2012•湖北模擬)如圖,一次函數(shù)y=mx+5的圖象與反比例函數(shù)y=
kx
(k≠0)
在第一象限的圖象交于點(diǎn)A(1,n)和點(diǎn)B(4,1).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)在直線x=-1上確定一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小,求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
分析:(1)由反比例函數(shù)y=
k
x
(k≠0)過點(diǎn)B(4,1),可求得反比例函數(shù)的解析式,則可求得點(diǎn)A的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式;
(2)首先過點(diǎn)A作關(guān)于直線x=-1的對稱點(diǎn)A′,連接A′B交直線x=-1于點(diǎn)P,P點(diǎn)為使PA+PB的值最小的點(diǎn).由對稱性可求得點(diǎn)A′的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法即可求得直線A′P的解析式,則可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵反比例函數(shù)y=
k
x
(k≠0)過點(diǎn)B(4,1),
∴k=4×1=4,
∴反比例函數(shù)的解析式為:y=
4
x
,
當(dāng)x=1時,y=4,
∴A(1,4),
m+b=4
4m+b=1

m=-1
b=5
,
∴一次函數(shù)的解析式為:y=-x+5;

(2)過點(diǎn)A作關(guān)于直線x=-1的對稱點(diǎn)A′,連接A′B交直線x=-1于點(diǎn)P,則P點(diǎn)為使PA+PB的值最小的點(diǎn).
由對稱性可知A′(-3,4),
設(shè)直線A′B的解析式為:y=kx+b,
-3k+b=4
4k+b=1

解得:
k=-
3
7
b=
19
7
,
則直線A′B的解析式為:y=-
3
7
x+
19
7

當(dāng)x=-1時,y=
22
7
,
故點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-1,
22
7
).
點(diǎn)評:此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及最短路徑問題.此題難度較大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.
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-
1
a2-1
)+
a
a-1
÷
a2+a
a2-2a+1
-1
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