Question

【題目】如圖，已知ABCD，點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn)，將邊AD延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使∠AFC＝∠DEC.

(1)求證：四邊形DECF是平行四邊形；

(2)若AB＝13，DF＝14，tan A＝，求CF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）15

【解析】 試題分析：（1）由已知可知AD∥BC，從而得∠ADE＝∠DEC，再根據(jù)∠AFC＝∠DEC，從而得∠AFC＝∠ADE，繼而得DE∥FC，問題得證；

（2）過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，由已知得到∠BCD＝∠A，AB＝CD＝13，再根據(jù)tan A＝tan∠DCH＝，從而得到DH、CH的長(zhǎng)，從而得到CE、DE的長(zhǎng)，繼而得CF的長(zhǎng).

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，

又∵∠AFC＝∠DEC，∴∠AFC＝∠ADE，

∴DE∥FC，

∴四邊形DECF是平行四邊形；

（2）過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，如圖所示．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BCD＝∠A，AB＝CD＝13，

又∵tan A＝＝tan∠DCH＝，

∴DH＝12，CH＝5，

∵DF＝14，∴CE＝14，

∴EH＝9，

∴DE＝＝15，

∴CF＝DE＝15.