【題目】如圖①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點E在AC上(且不與點A,C重合),在△ABC的外部作△CED,使∠CED=90°,DE=CE,連接AD,分別以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接AF.
(1)請直接寫出線段AF,AE的數(shù)量關系;
(2)將△CED繞點C逆時針旋轉,當點E在線段BC上時,如圖②,連接AE,請判斷線段AF,AE的數(shù)量關系,并證明你的結論;
(3)在圖②的基礎上,將△CED繞點C繼續(xù)逆時針旋轉,請判斷(2)問中的結論是否發(fā)生變化?若不變,結合圖③寫出證明過程;若變化,請說明理由.
【答案】
(1)AF= AE
(2)
解:如圖②中,結論:AF= AE.
理由:連接EF,DF交BC于K.
∵四邊形ABFD是平行四邊形,
∴AB∥DF,
∴∠DKE=∠ABC=45°,
∴∠EKF=180°﹣∠DKE=135°,EK=ED,
∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°,
∴∠EKF=∠ADE,
∵∠DKC=∠C,
∴DK=DC,
∵DF=AB=AC,
∴KF=AD,
在△EKF和△EDA中,
,
∴△EKF≌△EDA,
∴EF=EA,∠KEF=∠AED,
∴∠FEA=∠BED=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AF= AE
(3)
解:如圖③中,結論不變,AF= AE.
理由:連接EF,延長FD交AC于K.
∵∠EDF=180°﹣∠KDC﹣∠EDC=135°﹣∠KDC,
∠ACE=(90°﹣∠KDC)+∠DCE=135°﹣∠KDC,
∴∠EDF=∠ACE,
∵DF=AB,AB=AC,
∴DF=AC
在△EDF和△ECA中,
,
∴△EDF≌△ECA,
∴EF=EA,∠FED=∠AEC,
∴∠FEA=∠DEC=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AF= AE
【解析】解:(1)如圖①中,結論:AF= AE.
理由:∵四邊形ABFD是平行四邊形,
∴AB=DF,
∵AB=AC,
∴AC=DF,
∵DE=EC,
∴AE=EF,
∵∠DEC=∠AEF=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AF= AE.
故答案為AF= AE.
(1)如圖①中,結論:AF= AE,只要證明△AEF是等腰直角三角形即可.(2)如圖②中,結論:AF= AE,連接EF,DF交BC于K,先證明△EKF≌△EDA再證明△AEF是等腰直角三角形即可.(3)如圖③中,結論不變,AF= AE,連接EF,延長FD交AC于K,先證明△EDF≌△ECA,再證明△AEF是等腰直角三角形即可.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為2,∠A=60°,以點B為圓心的圓與AD、DC相切,與AB、CB的延長線分別相交于點E,F(xiàn),則圖中陰影部分的面積為 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開,圖中的虛線表示折痕,則 的度數(shù)是( )
A.120°
B.135°
C.150°
D.165°
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【題目】如圖,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中點,ED的延長線與CB的延長線交于點F.
(1)求證:FD2=FBFC;
(2)若G是BC的中點,連接GD,GD與EF垂直嗎?并說明理由.
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【題目】王老師為了了解所教班級學生自主學習、合作交流的具體情況,對本班部分學生進行了為期半個月的跟蹤調查,并將調查結果分成四類,A:優(yōu)秀;B:良好;C:合格;D:一般;并將調查結果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題:
(1)本次調查中,王老師一共調查了多少名同學?
(2)將上面的條形統(tǒng)計圖補充完整;并求出“D”所占的圓心角的度數(shù);
(3)從被調查的A類和D類學生中分別選取一位同學進行“一對一”互助學習,請求出所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的概率.
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【題目】二孩政策的落實引起了全社會的關注,某校學生數(shù)學興趣小組為了了解本校同學對父母生育二孩的態(tài)度,在學校抽取了部分同學對父母生育二孩所持的態(tài)度進行了問卷調查,調查分別為非常贊同、贊同、無所謂、不贊同等四種態(tài)度,現(xiàn)將調查統(tǒng)計結果制成了如圖兩幅統(tǒng)計圖,請結合兩幅統(tǒng)計圖,回答下列問題:
(1)在這次問卷調查中一共抽取了名學生,a=%;
(2)請補全條形統(tǒng)計圖;
(3)持“不贊同”態(tài)度的學生人數(shù)的百分比所占扇形的圓心角為度;
(4)若該校有3000名學生,請你估計該校學生對父母生育二孩持“贊同”和“非常贊同”兩種態(tài)度的人數(shù)之和.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點E,∠DAB=∠CDB=90°,∠ABD=45°,∠DCA=30°,AB=6,則AE= .
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