Question

某外語學校在圣誕節(jié)要舉行匯報演出，需要準備一些圣誕帽，為了培養(yǎng)學生的動手能力，學校決定自己制作這些圣誕帽．如果圣誕帽（圓錐形狀）的規(guī)格是母線長42厘米，底面直徑為16厘米．
（1）求圣誕帽的側(cè)面展開圖（扇形）的圓心角的度數(shù)（精確到度）；
（2）已知A種規(guī)格的紙片能做3個圣誕帽，B種規(guī)格的紙片能做4個圣誕帽，匯報演出需要26個圣誕帽，寫出A種規(guī)格的紙片y張與B種規(guī)格的紙片x張之間的函數(shù)關(guān)系式及其x的最大值與最小值；若自己制作時，A、B兩種規(guī)格的紙片各買多少張時，才不會浪費紙張？
（3）現(xiàn)有一張邊長為79厘米的正方形紙片，它最多能制作幾個這種規(guī)格的圣誕帽（圣誕帽的粘接處忽略不計）．請在比例尺為1：15的正方形紙片上畫出圣誕帽的側(cè)面展開圖的裁剪草圖，并利用所學的數(shù)學知識說明其可行性．

Answer 1

分析：（1）利用圓錐的弧長=圓錐的底面周長可得圓心角的度數(shù)；
（2）利用26個圣誕帽的個數(shù)列出相應(yīng)的等量關(guān)系，可得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，然后取得整數(shù)解的最大值與最小值即可；
（3）算出正方形的面積及圓錐側(cè)面積，讓正方形的面積除以圓錐側(cè)面積得到的整數(shù)解即為圣誕帽的個數(shù)，讓扇形的頂點在正方形的四個頂點，扇形一邊在正方形的一邊即可；根據(jù)扇形的兩條半徑的和小于對角線的長，算出的∠MCP的度數(shù)和69°相加得90°即合適．

解答：解：（1）∵底面直徑為16厘米，
∴圓錐的底面周長為16πcm，
∵圣誕帽的側(cè)面展開圖是一個扇形，
∴扇形的弧長是16π，
設(shè)扇形是圓心角為n，

nπ×42

180

=16π，
解得n≈69，
則扇形的圓心角是69°；

（2）y=-

4

3

x+

26

3

，由y≥0，得x的最大值是

13

2

，最小值是0．
顯然，x、y必須取整數(shù)，才不會浪費紙張．
由x=1時，y=

22

3

；x=2時，y=6；x=3時，y=

14

3

；
x=4時，y=

10

3

x=5時，y=2；x=6時，y=

2

3

故A、B兩種規(guī)格的紙片各買6張、2張或2張、5張時，才不會浪費紙張．
（3）正方形的面積為79×79=6241，圓錐的側(cè)面展開圖的面積為π×8×42≈1055，
∴可以截的扇形的個數(shù)為：6241÷1055≈5，但畫出草圖后可得只有4個．
裁剪草圖，如圖

設(shè)相鄰兩個扇形的圓弧相交于點P，則PD=PC，
過點P作DC的垂線PM交DC于M，
則CM=

1

2

DC=

1

2

×79=39.5，又CP=42，
∴cos∠MCP=

CM

CP

=

39.5

42

，
∴∠MCP=20°＜（90°-69°），
又42+42＜79

2

，所以這樣的裁剪草圖是可行的．

點評：用到的知識點為：圓錐的底面周長等于圓錐的側(cè)面展開圖的弧長；在較大的紙張上裁剪較小的圖形，應(yīng)從實際出發(fā)思考．