(2010•潮陽(yáng)區(qū)模擬)如圖1,點(diǎn)A、B是雙曲線y=(k>0)上的點(diǎn),分別經(jīng)過A、B兩點(diǎn)向x軸、y軸作垂線段AC、AD、BE、BF,AC和BF交于點(diǎn)G,得到正方形OCGF(陰影部分),且S陰影=1,△AGB的面積為2.

(1)求雙曲線的解析式;
(2)在雙曲線上移動(dòng)點(diǎn)A和點(diǎn)B,上述作圖不變,得到矩形OCGF(陰影部分),點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持S陰影=1不變(如圖2),則△AGB的面積是否會(huì)改變?說明理由.
【答案】分析:(1)由于正方形OCGF的面積是1,得出OC=CG=1,即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)B縱坐標(biāo)為1.由點(diǎn)A、B是雙曲線y=上的點(diǎn),得出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)都是k,從而可用含k的代數(shù)式表示AG,BG,再根據(jù)△AGB的面積為2,列出關(guān)于k的方程,求解即可;
(2)由于△AGB的面積=AG•BG,所以本題即求AG•BG的值是否為一個(gè)常數(shù).為此,設(shè)矩形OCGF的邊OC=m,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m,由S陰影=OC•OF=1,可知OF=,即點(diǎn)B縱坐標(biāo)為.然后由點(diǎn)A、B是雙曲線y=上的點(diǎn),得出點(diǎn)A的縱橫坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo),從而可用含m的代數(shù)式表示AG,BG,進(jìn)而求出AG•BG的值,從而得出結(jié)果.
解答:解:(1)∵四邊形OCGF是正方形,
∴OC=CG=GF=OF,∠CGF=90°,
∵OC2=S陰影=1,
∴OC=CG=GF=OF=1,
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)B縱坐標(biāo)為1.
∵點(diǎn)A、B是雙曲線y=上的點(diǎn),
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為y=,點(diǎn)B橫坐標(biāo)為x=
∴AC=k,BF=k,
∴AG=k-1,BG=k-1.
∵∠AGB=∠CGF=90°,
∴S△AGB=AG•BG=2=2,
解得k=3(取正值).
∴反比例函數(shù)的解析式為y=;

(2)點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)過程中△AGB的面積保持不變.
理由如下:
設(shè)矩形OCGF的邊OC=m.
∵S陰影=OC•OF=1,∴OF=
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)B縱坐標(biāo)為
∵點(diǎn)A、B是雙曲線y=上的點(diǎn),
∴點(diǎn)A的縱橫坐標(biāo)為y=,點(diǎn)B橫坐標(biāo)為
∴AC=,BF=3m.
又FG=OC=m,CG=OF=,
∴AG=AC-CG=-=,BG=BF-FG=3m-m=2m,
∴S△AGB=AG•BG=•2m=2.
∴點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)過程中△AGB的面積保持不變.
點(diǎn)評(píng):本題考查了反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)以及正方形、矩形的性質(zhì),利用形數(shù)結(jié)合解決此類問題,是非常有效的方法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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B.OB=OD
C.AC=AE
D.BC=DE

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