Question

【題目】已知：在△ABC中,∠ABC=60°,CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E在線段CD上(點(diǎn)E不與點(diǎn)C. D重合)，且∠EAC=2∠EBC.

(1)如圖1,若∠EBC=27°,且EB=EC,則∠DEB=___°,∠AEC=___°.

(2)如圖2，①求證：AE+AC=BC；

②若∠ECB=30°，且AC=BE，求∠EBC的度數(shù)。

Answer 1

【答案】（1）27°,99°;（2）①見解析；②20°；

【解析】

（1）由等腰三角形的性質(zhì)得到∠EBC=∠ECB=27°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠DEB=∠EBC+∠ECB=54°，再由角平分線的性質(zhì)得到∠ACD=∠ECB=27°，因?yàn)椤?/span>EAC=2∠EBC=54°，求得∠AEC=180°-27°-54°=99°；

（2）①在BC上取一點(diǎn)M，使BM=ME，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠MBE=∠MEB，由∠EAB=2∠MBE，∠EMC=∠MBE+∠MEB=2∠MBE，得到∠EAC=∠EMC，由全等三角形的性質(zhì)推出AE=ME，CM=AC，于是得到結(jié)論；

②如圖2，在BC上取一點(diǎn)M，使BM=ME，連接AM，由∠ECB=30°，得到∠ACB=60°，于是推出△AMC是等邊三角形，通過三角形全等得到∠EBC=∠MAE，由∠MAC=60°，得到∠EAC=2∠EBC=2∠MAE，于是得出結(jié)果．

(1)∵EB=EC，

∴∠EBC=∠ECB=27°，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠ECB=27°，

∵∠EAC=2∠EBC=54°，

∴∠AEC=180°27°54°=99°，

故答案為：27°,99°;

(2)①證明：如圖1，在BC上取一點(diǎn)M，使BM=ME，

∴∠MBE=∠MEB，

∵∠EAC=2∠MBE，∠EMC=∠MBE+∠MEB=2∠MBE，

∴∠EAC=∠EMC，

在△ACE與△MCE中，

，

∴△ACE≌△MCE，

∴AE=ME，CM=AC，

∴AE=BM，

∴BC=BM+CM=AE+AC；

②如圖2在BC上取一點(diǎn)M,使BM=ME,連接AM,

∵∠ECB=30°，

∴∠ACB=60°,由①可知;△AMC是等邊三角形(M點(diǎn)與B點(diǎn)重合)，

∴AM=AC=BE，

在△EMB與△MEA中，

，

∴∠EBC=∠MAE，

∵∠MAC=60°，

∵∠EAC=2∠EBC=2∠MAE，

∴∠MAE=20°,∠EAC=40°，

∴∠EBC=20°.