Question

如圖1，D是△ABC的邊BC上一點，AH⊥BC于H，S_△ABD=

1

2

BD•AH，S_△ADC=

1

2

DC•AH，則

S△ABD

S△ACD

=

BD

DC

，因此，利用三角形的面積比可以來表示兩條線段的比，甚至用三角形面積的比來證明與線段比有關(guān)的命題．

請解決下列問題：
已知：如圖2，直線l與△ABC的邊AB、AC交于D、F，與BC的延長線交于E，連接BF、AE．
（1）求證：

AD

DB

=

S△AEF

S△BEF

；
（2）求證：

AD

DB

•

BE

EC

•

CF

FA

=1．

Answer 1

分析：（1）過A、B分別作DE的垂線段AM、BN，根據(jù)同底的兩個三角形面積之比等于高之比，得出

S△AEF

S△BEF

=

AM

BN

，再證明△ADM∽△BDN，由相似三角形對應(yīng)邊成比例得出

AD

BD

=

AM

BN

，進(jìn)而證明出

AD

BD

=

S△AEF

S△BEF

；
（2）根據(jù)同高的兩個三角形面積之比等于底之比，得出

S△BEF

S△ECF

=

BE

EC

，

S△CEF

S△FEA

=

CF

FA

，又由（1）得出

S△AEF

S△BEF

=

AD

BD

，將這三個式子相乘，即可證明出結(jié)論．

解答：證明：（1）過A、B分別作DE的垂線段AM、BN，如圖．
∵S_△AEF=

1

2

EF•AM，S_△BEF=

1

2

EF•BN，
∴

S△AEF

S△BEF

=

AM

BN

．
∵在△ADM與△BDN中，

∠AMD=∠BND=90° ∠ADM=∠BDN

，
∴△ADM∽△BDN，
∴

AD

BD

=

AM

BN

，
∴

AD

BD

=

S△AEF

S△BEF

；

（2）設(shè)F到BE的距離為h，則

S△BEF

S△ECF

=

1 2 BE•h

1 2 EC•h

=

BE

EC

，
同理，得到

S△CEF

S△FEA

=

CF

FA

，
又由（1）得出

S△AEF

S△BEF

=

AD

BD

，
將這三個式子相乘，得

AD

BD

•

BE

EC

•

CF

FA

=

S△AEF

S△BEF

•

S△BEF

S△ECF

•

S△CEF

S△FEA

=1．
即

AD

BD

•

BE

EC

•

CF

FA

=1．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用三角形的面積比表示兩條線段的比，同時考查了學(xué)生的理解能力及知識的遷移能力，難度適中．（1）問分別作出△AEF與△BEF中EF邊上的高是解題的關(guān)鍵．