Question

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠BAC＝90°．動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1 cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，四邊形APQC的面積為y cm2．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形?

（2）①求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；

②當(dāng)t為何值時(shí)，y取得最小值？最小值為多少？

（3）設(shè)PQ的長(zhǎng)為x cm，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)t＝或時(shí)，△PBQ是直角三角形；（2）①y ＝8－（0≤t≤4），②當(dāng)t＝2時(shí)，y取得最小值，最小值是；（3）y ．

【解析】

試題分析：（1）分∠PQB＝90°和∠QPB＝90°兩種情況討論即可；

（2）根據(jù)三角形的面積公式列式y ＝S△ABC －S△BPQ即得函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)最值原理即可得出y取得最小值時(shí)t的值和y的最小值；

（3）把t2－4 t＝代入y ＝8－化簡(jiǎn)即可.

試題解析：（1）當(dāng)t＝或時(shí)，△PBQ是直角三角形，理由如下：

∵BQ＝AP＝t， BP＝4－t，

∴①當(dāng)∠PQB＝90°時(shí)，由得： t ＝4－t，解得：t＝；

②當(dāng)∠QPB＝90°時(shí)，由得：，解得：t＝.

∴當(dāng)t＝或時(shí)，△PBQ是直角三角形.

（2）①過(guò)P作PH⊥BC，在Rt△PHB中，BP＝4－t ，PH＝，

∴S△BPQ＝，

∴y ＝S△ABC －S△BPQ＝8－.

由題意可知：0≤t≤4 .

②y＝8－＝，

∴當(dāng)t＝2時(shí)，y取得最小值，最小值是．

（3）在Rt△PQH中，PH＝（4－t），HQ＝（4－t）－t，

由PQ2＝ PH2＋HQ2，則x2＝〔（4－t）〕2＋〔（4－t）－t〕2

化簡(jiǎn)得：x2＝（2＋）t 2－4（2＋）t＋16，∴ t2－4 t＝.

將t2－4t＝代入y ＝8－，得y ＝8＋·．

考點(diǎn)：1.雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；2.由實(shí)際問(wèn)題列函數(shù)關(guān)系式；3.二次函數(shù)的性質(zhì)；4. 直角三角形的判定；5.勾股定理；6.分類思想、轉(zhuǎn)換思想和整體思想的應(yīng)用.