【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,分別以AB、AD為邊向外作等邊△ABE、△ADF,延長CB交AE于點(diǎn)G,點(diǎn)G在點(diǎn)A、E之間,連接CE、CF,EF,則以下四個(gè)結(jié)論一定正確的是:①△CDF≌△EBC;②∠CDF=∠EAF;③△ECF是等邊△;④CG⊥AE( 。
A. 只有①② B. 只有①②③ C. 只有③④ D. ①②③④
【答案】B
【解析】根據(jù)題意,結(jié)合圖形,對(duì)選項(xiàng)一一求證,判定正確選項(xiàng)
解:在□ABCD中,∠ADC=∠ABC,AD=BC,CD=AB,
∵△ABE、△ADF都是等邊三角形,
∴AD=DF,AB=EB,∠ADF=∠ABE=60°,
∴DF=BC,CD=BC,
∴∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC,
∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC,
∴∠CDF=∠EBC,
在△CDF和△EBC中,
DF=BC,∠CDF=∠EBC,CD=EB,
∴△CDF≌△EBC(SAS),故①正確;
在ABCD中,∠DAB=180°-∠ADC,
∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC,
∴∠CDF=∠EAF,故②正確;
同理可證△CDF≌△EAF,
∴EF=CF,
∵△CDF≌△EBC,
∴CE=CF,
∴EC=CF=EF,
∴△ECF是等邊三角形,故③正確;
當(dāng)CG⊥AE時(shí),∵△ABE是等邊三角形,
∴∠ABG=30°,
∴∠ABC=180°-30°=150°,
∵∠ABC=150°無法求出,故④錯(cuò)誤;
綜上所述,正確的結(jié)論有①②③.
故選B.
“點(diǎn)睛”本題考查了全等三角形的判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí),綜合性強(qiáng),考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.
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【題目】把方程x2+6x+2=0配方成(x+p)2+q=0的形式后,p2+q2的值是( )
A. 64B. 58C. 40D. 37
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【題目】一個(gè)多邊形截取一個(gè)角后,形成另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1620°,則原來多邊形的邊數(shù)是( )
A.10
B.11
C.12
D.以上都有可能
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)(-3,2)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.
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【題目】如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,將梯形沿對(duì)角線BD折疊,點(diǎn)A恰好落在DC邊上的點(diǎn)E處,若∠EBC=20°,則∠EBD的度數(shù)為_________.
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【題目】如圖4所示的是橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀.按照?qǐng)D中建立的直角坐標(biāo)系,右面的一條拋物線的解析式為y=x2-4x+5表示,而且左右兩條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱,則左面鋼纜的表達(dá)式為_________________________________.
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【題目】閱讀下面材料:
小聰遇到這樣一個(gè)有關(guān)角平分線的問題:如圖1,在△ABC中,∠A=2∠B,CD平分∠ACB,AD=2.2,AC=3.6
求BC的長.
小聰思考:因?yàn)镃D平分∠ACB,所以可在BC邊上取點(diǎn)E,使EC=AC,連接DE.這樣很容易得到△DEC≌△DAC,經(jīng)過推理能使問題得到解決(如圖2).
請(qǐng)回答:
(1)△BDE是三角形.
(2)BC的長為 .
參考小聰思考問題的方法,解決問題:
如圖3,已知△ABC中,AB=AC,∠A=20°,BD平分∠ABC,BD=2.3,BC=2.求AD的長.
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