Question

已知：如圖，拋物線y＝ax²＋bx＋2與x軸的交點(diǎn)是A（3，0）、B（6，0），與y軸的交點(diǎn)是C．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)P（x，y）（0＜x＜6）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線BC于點(diǎn)Q．
①當(dāng)x取何值時(shí)，線段PQ長(zhǎng)度取得最大值？其最大值是多少?
②是否存在點(diǎn)P，使△OAQ為直角三角形？若存在，求點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）①x＝3，1；②P（3，0）或或．

試題分析：（1）由拋物線過A（3，0），B（6，0）即可根據(jù)待定系數(shù)法列方程組求解；
（2）①先求得拋物線與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求得直線BC的函數(shù)表達(dá)式，即可表示出線段PQ的長(zhǎng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，則P（3，0） ；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，則x＝0（不合題意）；當(dāng)時(shí)，設(shè)PQ與軸交于點(diǎn)D，先根據(jù)同角的余角相等證得△ODQ∽△QDA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即可得到關(guān)于x的方程，從而求得結(jié)果．
（1）∵拋物線過A（3，0），B（6，0），
∴，解得：
∴拋物線函數(shù)表達(dá)式是；
（2）①∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）．
設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式是，
則有，解得，
∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式是y＝ 
∵0＜x＜6，
∴PQ＝－（）＝＝．
∴當(dāng)x＝3時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度取得最大值1；
②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，∴P（3，0）
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，∴x＝0（不合題意）
當(dāng)時(shí)，設(shè)PQ與軸交于點(diǎn)D．  
，
．
又
∴△ODQ∽△QDA．
∴，即．
∴，，
∴． 
∴．
∴或．
∴所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（3，0）或或．
點(diǎn)評(píng)：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．