Question

【題目】如圖，直線分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)D是直線AB下方的拋物線上的一點(diǎn)，且的面積為，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，若是以AB為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)P到拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的距離．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（2，-3）；（3）或或.

【解析】

（1）由直線解析式求出A、B坐標(biāo)，然后得出C點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)E，設(shè)D（m，），利用S△ABD==得出方程，解出m值即可；

（3）分點(diǎn)A是直角頂點(diǎn)和點(diǎn)B是直角頂點(diǎn)，結(jié)合圖像，表示出△ABP三邊長(zhǎng)度，利用勾股定理得出方程，求解即可.

解：（1）直線中，

令x=0，則y=10，令y=0，則x=5，

∴A（5，0），B（0，10），

∵點(diǎn)C是OB中點(diǎn)，

∴C（0，5），將A和C代入拋物線中，

，解得：，

∴拋物線表達(dá)式為：；

（2）聯(lián)立：，

解得：或，

∴直線AB與拋物線交于點(diǎn)（-1，12）和（5，0），

∵點(diǎn)D是直線AB下方拋物線上的一點(diǎn)， 設(shè)D（m，），

∴-1＜m＜5，

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)E，

∴E（m，-2m+10），

∴DE==，

∴S△ABD===，

解得：m=2，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-3）；

（3）拋物線表達(dá)式為：，

∵△APB是以AB為直角邊的直角三角形，

設(shè)點(diǎn)P（n，），∵A（5，0），B（0，10），

∴AP2=，BP2=，AB2=125，

當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，

BP2= AB2+ AP2，

解得：n=或5（舍），

當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，

AP2= AB2+ BP2，

解得：n=或，

而拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3，

則3-=，-3=，3-=，

綜上：點(diǎn)P到拋物線對(duì)稱(chēng)軸的距離為：或或.