Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤5），連接MN．

（1）若BM=BN，求t的值；

（2）若△MBN與△ABC相似，求t的值；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ACNM的面積最小？并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=或t=；（3）當(dāng)t=時(shí)，y的值最小．=．

【解析】

試題分析：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，∴∠B=30°，∴AB=2AC=10，BC=．

由題意知：BM=2t，CN=，∴BN=，∵BM=BN，∴，解得：t==．

（2）分兩種情況：①當(dāng)△MBN∽△ABC時(shí)，則，即，解得：t=．

②當(dāng)△NBM∽△ABC時(shí)，則，即，解得：t=．

綜上所述：當(dāng)t=或t=時(shí)，△MBN與△ABC相似．

（3）過M作MD⊥BC于點(diǎn)D，則MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴，即，解得：MD=t．

設(shè)四邊形ACNM的面積為y，∴y==，∴根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)t=時(shí)，y的值最小．此時(shí)，=．