【題目】已知:如圖①,在ABCD中,O為對角線BD的中點(diǎn).過O的直線MN交直線AB于點(diǎn)M,交直線CD于點(diǎn)N;過O的另一條直線PQ交直線AD于點(diǎn)P,交直線BC于點(diǎn)Q,連接PN、MQ.
(1)試證明△PON與△QOM全等;
(2)若點(diǎn)O為直線BD上任意一點(diǎn),其他條件不變,則△PON與△QOM又有怎樣的關(guān)系?試就點(diǎn)O在圖②所示的位置,畫出圖形,證明你的猜想;
(3)若點(diǎn)O為直線BD上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、D重合),設(shè)OD:OB=k,PN=x,MQ=y,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 .
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)見解析.
【解析】
(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)容易得到全等條件證明△DOP≌△BOQ,△PON≌△QOM,然后利用全等三角形的性質(zhì)得到PO=QO,MO=NO,然后再證明△PON≌△QOM就可以解決問題;
(2)點(diǎn)O為直線BD上任意一點(diǎn),則△MOQ∽△NOP.根據(jù)AP∥BQ,BM∥CN可以得到比例線段,而∠NOP=∠MOQ,可以證明△MOQ∽△NOP了;
(3)根據(jù)(2)和已知可以得到==,根據(jù)這個(gè)等式可以求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(1)證明:在平行四邊形ABCD中,AD∥BC,
∴∠PDO=∠QBO.
∵∠DOP=∠BOQ,DO=BO,
∴△DOP≌△BOQ.
∴PO=QO.
同理MO=NO.
∵∠PON=∠QOM,
∴△PON≌△QOM.
(2)解:畫圖如圖所示.
△MOQ∽△NOP.
∵AP∥BQ,BM∥CN,
∴OD:OB=OP:OQ,OD:OB=ON:OM.
∴OP:OQ=ON:OM.
∴∠NOP=∠MOQ.
∴△MOQ∽△NOP.
(3)解:根據(jù)(2)和已知可以得到==,
∵OD:OB=k,PN=x,MQ=y,
∴y=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知函數(shù)y=x+2的圖象與函數(shù)y=(k≠0)的圖象交于A、B兩點(diǎn),連接BO并延長交函數(shù)y=(k≠0)的圖象于點(diǎn)C,連接AC,若△ABC的面積為8.則k的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有兩張完全重合的矩形紙片,小亮同學(xué)將其中一張繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF(如圖1),連接BD、MF,若此時(shí)他測得BD=8cm,∠ADB=30度.請回答下列問題:(1)試探究線段BD與線段MF的關(guān)系,并簡要說明理由;
(2)小紅同學(xué)用剪刀將△BCD與△MEF剪去,與小亮同學(xué)繼續(xù)探究.他們將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△AB1D1,AD1交FM于點(diǎn)K(如圖2),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β(0°<β<90°),當(dāng)△AFK為等腰三角形時(shí),請直接寫出旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù);
(3)若將△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2(如圖3),F(xiàn)2M2與AD交于點(diǎn)P,A2M2與BD交于點(diǎn)N,當(dāng)NP∥AB時(shí),求平移的距離是多少?
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【題目】某中學(xué)為推動“時(shí)刻聽黨話 永遠(yuǎn)跟黨走”校園主題教育活動,計(jì)劃開展四項(xiàng)活動:A:黨史演講比賽,B:黨史手抄報(bào)比賽,C:黨史知識競賽,D:紅色歌詠比賽.校團(tuán)委對學(xué)生最喜歡的一項(xiàng)活動進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生,并將調(diào)查結(jié)果繪制成圖1,圖2兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請結(jié)合圖中信息解答下列問題:
(1)本次共調(diào)查了 名學(xué)生;
(2)將圖1的統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)已知在被調(diào)查的最喜歡“黨史知識競賽”項(xiàng)目的4個(gè)學(xué)生中只有1名女生,現(xiàn)從這4名學(xué)生中任意抽取2名學(xué)生參加該項(xiàng)目比賽,請用畫樹狀圖或列表的方法,求出恰好抽到一名男生一名女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在邊AB上,點(diǎn)E在線段CD上,且∠ACD=∠B=∠BAE.
(1)求證:;
(2)當(dāng)點(diǎn)E為CD中點(diǎn)時(shí),求證:.
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【題目】某校為了解學(xué)生對“第二十屆中國哈爾濱冰雪大世界”主題景觀的了解情況,在全體學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并把調(diào)查結(jié)果繪制成如圖的不完整的兩幅統(tǒng)計(jì)圖:
(1)本次調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生;
(2)通過計(jì)算補(bǔ)全條形圖;
(3)若該學(xué)校共有名學(xué)生,請你估計(jì)該學(xué)校選擇“比較了解”項(xiàng)目的學(xué)生有多少名?
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【題目】用一塊邊長為60㎝的正方形薄鋼片制作一個(gè)長方體盒子:如果要做成一個(gè)沒有蓋的長方體盒子,可先在薄鋼片的四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形,如圖(1),然后把四邊折合起來,如圖(2)
(1)求做成的盒子底面積y(㎝2)與截去小正方形邊長x(㎝)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)做成的盒子的底面積為900㎝2時(shí),試求該盒子的容積.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(﹣3,0)、B(1,0)兩點(diǎn),其頂點(diǎn)為D,連接AD,點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動點(diǎn)(不與A、D重合).
(1)求拋物線的函數(shù)解析式,并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)如圖1,過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E.求△PAE面積S的最大值;
(3)如圖2,拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使得四邊形OAPQ為平行四邊形?若存在求出Q點(diǎn)坐標(biāo),若不存在請說明理由.
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