Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，M是BC的中點(diǎn)，延長AM到點(diǎn)D，AE＝AD，∠EAD＝90°，CE交AB于點(diǎn)F，CD＝DF．

（1）∠CAD＝______度；

（2）求∠CDF的度數(shù)；

（3）用等式表示線段CD和CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）45;（2）90°;（3）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形三線合一可得結(jié)論；

（2）連接DB，先證明△BAD≌△CAD，得BD＝CD＝DF，則∠DBA＝∠DFB＝∠DCA，根據(jù)四邊形內(nèi)角和與平角的定義可得∠BAC+∠CDF＝180°，所以∠CDF＝90°；

（3）證明△EAF≌△DAF，得DF＝EF，由②可知，可得結(jié)論．

（1）解：∵AB＝AC，M是BC的中點(diǎn)，

∴AM⊥BC，∠BAD＝∠CAD，

∵∠BAC＝90°，

∴∠CAD＝45°，

故答案為：45

（2）解：如圖，連接DB．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，M是BC的中點(diǎn)，

∴∠BAD＝∠CAD＝45°．

∴△BAD≌△CAD．

∴∠DBA＝∠DCA，BD＝CD．

∵CD＝DF，

∴BD＝DF．

∴∠DBA＝∠DFB＝∠DCA．

∵∠DFB＋∠DFA＝180°，

∴∠DCA＋∠DFA＝180°．

∴∠BAC＋∠CDF＝180°．

∴∠CDF＝90°．

（3）．

證明：∵∠EAD＝90°，

∴∠EAF＝∠DAF＝45°．

∵AD＝AE，

∴△EAF≌△DAF．

∴DF＝EF．

由②可知，．

∴．