【題目】如圖,AB=16,O為AB中點(diǎn),點(diǎn)C在線段OB上(不與點(diǎn)O,B重合),將OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°后得到扇形COD,AP,BQ分別切優(yōu)弧 于點(diǎn)P,Q,且點(diǎn)P,Q在AB異側(cè),連接OP.
(1)求證:AP=BQ;
(2)當(dāng)BQ=4 時(shí),求 的長(zhǎng)(結(jié)果保留π);
(3)若△APO的外心在扇形COD的內(nèi)部,求OC的取值范圍.
【答案】
(1)證明:連接OQ.
∵AP、BQ是⊙O的切線,
∴OP⊥AP,OQ⊥BQ,
∴∠APO=∠BQO=90°,
在Rt△APO和Rt△BQO中,
,
∴Rt△APO≌Rt△BQO,
∴AP=BQ
(2)解:∵Rt△APO≌Rt△BQO,
∴∠AOP=∠BOQ,
∴P、O、Q三點(diǎn)共線,
∵在Rt△BOQ中,cosB= = = ,
∴∠B=30°,∠BOQ=60°,
∴OQ= OB=4,
∵∠COD=90°,
∴∠QOD=90°+60°=150°,
∴優(yōu)弧 的長(zhǎng)= = π
(3)解:∵△APO的外心是OA的中點(diǎn),OA=8,
∴△APO的外心在扇形COD的內(nèi)部時(shí),OC的取值范圍為4<OC<8
【解析】(1)連接OQ.只要證明Rt△APO≌Rt△BQO即可解決問題;(2)求出優(yōu)弧DQ的圓心角以及半徑即可解決問題;(3)由△APO的外心是OA的中點(diǎn),OA=8,推出△APO的外心在扇形COD的內(nèi)部時(shí),OC的取值范圍為4<OC<8;
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識(shí),掌握切線的性質(zhì):1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑,以及對(duì)弧長(zhǎng)計(jì)算公式的理解,了解若設(shè)⊙O半徑為R,n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為l,則l=nπr/180;注意:在應(yīng)用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算時(shí),要注意公式中n的意義.n表示1°圓心角的倍數(shù),它是不帶單位的.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的大致圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是( )
A.a<0,b<0,c>0
B.﹣ =1
C.a+b+c<0
D.關(guān)于x的方程x2+bx+c=﹣1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明同學(xué)在一次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中,通過對(duì)某種蔬菜在1月份至7月份的市場(chǎng)行情進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后得出如下規(guī)律: ①該蔬菜的銷售價(jià)P(單位:元/千克)與時(shí)間x(單位:月份)滿足關(guān)系:P=9﹣x
②該蔬菜的平均成本y(單位:元/千克)與時(shí)間x(單位:月份)滿足二次函數(shù)關(guān)系y=ax2+bx+10,已知4月份的平均成本為2元/千克,6月份的平均成本為1元/千克.
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)請(qǐng)運(yùn)用小明統(tǒng)計(jì)的結(jié)論,求出該蔬菜在第幾月份的平均利潤(rùn)L(單位:元/千克)最大?最大平均利潤(rùn)是多少?(注:平均利潤(rùn)=銷售價(jià)﹣平均成本)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是國(guó)際數(shù)學(xué)日當(dāng)天淇淇和嘉嘉的微信對(duì)話,根據(jù)對(duì)話內(nèi)容,下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是( )
A.4+4﹣ =6
B.4+40+40=6
C.4+ =6
D.4﹣1÷ +4=6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于實(shí)數(shù)p,q,我們用符號(hào)min{p,q}表示p,q兩數(shù)中較小的數(shù),如min{1,2}=1,因此,min{﹣ ,﹣ }=;若min{(x﹣1)2 , x2}=1,則x= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面內(nèi),如圖,在ABCD中,AB=10,AD=15,tanA= ,點(diǎn)P為AD邊上任意點(diǎn),連接PB,將PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ.
(1)當(dāng)∠DPQ=10°時(shí),求∠APB的大小;
(2)當(dāng)tan∠ABP:tanA=3:2時(shí),求點(diǎn)Q與點(diǎn)B間的距離(結(jié)果保留根號(hào));
(3)若點(diǎn)Q恰好落在ABCD的邊所在的直線上,直接寫出PB旋轉(zhuǎn)到PQ所掃過的面積.(結(jié)果保留π)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AC,BC分別與⊙O相交于點(diǎn)D,E,連接DE,現(xiàn)給出兩個(gè)命題: ①若AC=AB,則DE=CE;
②若∠C=45°,記△CDE的面積為S1 , 四邊形DABE的面積為S2 , 則S1=S2 ,
那么( )
A.①是真命題②是假命題
B.①是假命題②是真命題
C.①是假命題②是假命題
D.①是真命題②是真命題
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠AOB=90°,以O為頂點(diǎn)、OB為一邊畫∠BOC,然后再分別畫出∠AOC與∠BOC的平分線OM、ON.
(1)在圖1中,射線OC在∠AOB的內(nèi)部.
①若銳角∠BOC=30°,則∠MON= °;
②若銳角∠BOC=n°,則∠MON= °.
(2)在圖2中,射線OC在∠AOB的外部,且∠BOC為任意銳角,求∠MON的度數(shù).
(3)在(2)中,“∠BOC為任意銳角”改為“∠BOC為任意鈍角”,其余條件不變,(圖3),求∠MON的度數(shù).
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