Question

有18支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，每個(gè)參賽隊(duì)同其他各隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽，假設(shè)比賽的結(jié)果沒(méi)有平局，如果用a_i和b_i，分別表示第i（I=1，2，3…18）支球隊(duì)在整個(gè)賽程中勝與負(fù)的局?jǐn)?shù)．求證：a₁²+a₂²+…+a₁₈²=b₁²+b₂²+…+b₁₈²．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，作差比較，明確比賽規(guī)則下隱含的條件是解題的關(guān)鍵．
解答：解：由于每支球隊(duì)都要進(jìn)行18-1=17場(chǎng)比賽，則對(duì)于第i支球隊(duì)有a_i+b_i=17，i=1，2，3，…18；由于比賽無(wú)平局，故所以參賽隊(duì)的勝與負(fù)的總局?jǐn)?shù)相等，即a₁+a₂+…+a₁₈=b₁+b₂+…b_18．
由（a₁²+a₂²+…+a₁₈²）-（b₁²+b₂²+…+b₁₈²）
=（a₁²-b₁²）+（a₂²-b₂²）+…+（a₁₈²-b₁₈²）
=17×[（a1+a2+…+a18）-（b1+b2+…b18）]
=0．
得a₁²+a₂²+…+a₁₈²=b₁²+b₂²+…+b₁₈²．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等式證明問(wèn)題，作差比較是非常常用的方法．找出比賽規(guī)則下隱含的條件是證題的關(guān)鍵．