Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)E，F分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且始終保持AE＝BF，連接AF，CE相交于點(diǎn)P過(guò)點(diǎn)A作直線m∥BC，過(guò)點(diǎn)C作直線n∥AB，直線m，n相交于點(diǎn)D，連接PD交AC于點(diǎn)G，在點(diǎn)E，F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若＝，則的值為_____．

Answer 1

【答案】，

【解析】

作DH⊥AC于H，由“SAS”可證△ABF≌△CAE，可得∠BAF＝∠ACE，可求∠CPF＝60°，通過(guò)證明A，P，C，D四點(diǎn)共圓，可得∠ACP＝∠ADP，∠APD＝∠ACD＝60°，通過(guò)證明△DAG∽△DPA，可得DA2＝DGDP＝20k2，可求DA的長(zhǎng)，由勾股定理可求GH的長(zhǎng)，即可求解．

解：作DH⊥AC于H，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC＝AB，∠B＝∠CAE＝60°，且AE＝BF，

∴△ABF≌△CAE（SAS），

∴∠BAF＝∠ACE，

∴∠CPF＝∠ACP+∠CAP＝∠BAF+∠CAP＝∠CAB＝60°，

∵m∥BC，n∥AB，

∴∠DAC＝∠ACB＝60°，∠ACD＝∠BAC＝60°，

∴△ADC是等邊三角形，

∴∠ADC＝60°，

∵∠APC+∠ADC＝180°，

∴A，P，C，D四點(diǎn)共圓，

∴∠ACP＝∠ADP，∠APD＝∠ACD＝60°

∵

∴可以假設(shè)PG＝k，DG＝4k，

∵∠ADG＝∠ADP，∠DAG＝∠DPA＝60°，

∴△DAG∽△DPA，

∴DA2＝DGDP＝20k2，

∵DA＞0

∴

∴

在Rt△DGH中，

∴

∴

當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)H下方時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得：

故答案為：，．