Question

已知二次函數(shù)的圖象以A（-1，4）為頂點，且過點B（2，-5）．
（1）求該函數(shù)的關(guān)系式；
（2）求該函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)；
（3）將該函數(shù)圖象向右平移，當(dāng)圖象經(jīng)過原點時，A、B兩點隨圖象移至A′、B′，求△OA′B′的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=a（x+1）²+4（a≠0），將點B坐標(biāo)代入解析式，求出a的值即可求得函數(shù)關(guān)系式；
（2）分別令x=0，y=0，即可求得函數(shù)與y軸、x軸的交點坐標(biāo)；
（3）由（2）可知：拋物線與x軸的交點分別在原點兩側(cè)，由此可求出當(dāng)拋物線與x軸負(fù)半軸的交點平移到原點時，拋物線平移的單位，由此可求出A′、B′的坐標(biāo)．由于△OA′B′不規(guī)則，可用面積割補法求出△OA′B′的面積．

解答：解：（1）由頂點A（-1，4），可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=a（x+1）²+4（a≠0），
將點B（2，-5）代入解析式得：-5=a（2+1）²+4，
解得：a=-1．
則二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=-（x+1）²+4=-x²-2x+3；

（2）令x=0，
得y=-（0+1）²+4=3，
故圖象與y軸交點坐標(biāo)為（0，3）．
令y=0，
得0=-（x+1）²+4，
解得x₁=-3，x₂=1．
故圖象與x軸交點坐標(biāo)為（-3，0）和（1，0）；

（3）設(shè)拋物線與x軸的交點為M、N（M在N的左側(cè)），
由（2）知：M（-3，0），N（1，0）
當(dāng)函數(shù)圖象向右平移經(jīng)過原點時，M與O重合，因此拋物線向右平移了3個單位
故A'（2，4），B'（5，-5）
∴S_△OA′B′=

1

2

×（2+5）×9-

1

2

×2×4-

1

2

×5×5=15．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求拋物線解析式、函數(shù)圖象交點、圖形面積的求法等知識．不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差．