Question

【題目】如圖1，已知二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)O（0，0）和點(diǎn)A（4，0），函數(shù)圖象最低點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，直線l的解析式為y=x．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）直線l沿x軸向右平移，得直線l′，l′與線段OA相交于點(diǎn)B，與x軸下方的拋物線相交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，把△BCE沿直線l′折疊，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在拋物線上點(diǎn)E′時(shí)（圖2），求直線l′的解析式；

（3）在（2）的條件下，l′與y軸交于點(diǎn)N，把△BON繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到△B′ON′，P為l′上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PB′N′為等腰三角形時(shí)，求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y=x﹣3；（3）P坐標(biāo)為（0，﹣3）或（，）或（，）．

【解析】試題（1）由題意拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，），設(shè)拋物線的解析式為，把（0，0）代入得到a=，即可解決問題；

（2）如圖1中，設(shè)E（m，0），則C（m，），B（，0），由E、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得=2，由此即可解決問題；

（3）分兩種情形求解即可①當(dāng)P1與N重合時(shí)，△P1B′N′是等腰三角形，此時(shí)P1（0，﹣3）．②當(dāng)N′=N′B′時(shí)，設(shè)P（m，m﹣3），列出方程解方程即可；

試題解析：（1）由題意拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，），設(shè)拋物線的解析式為，把（0，0）代入得到a=，∴拋物線的解析式為，即．

（2）如圖1中，設(shè)E（m，0），則C（m，），B（，0），

∵E′在拋物線上，∴E、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴=2，解得m=1或6（舍棄），∴B（3，0），C（1，﹣2），∴直線l′的解析式為y=x﹣3．

（3）如圖2中，①當(dāng)P1與N重合時(shí)，△P1B′N′是等腰三角形，此時(shí)P1（0，﹣3）．

②當(dāng)N′=N′B′時(shí)，設(shè)P（m，m﹣3），則有，解得m=或，∴P2（，），P3（，）．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，﹣3）或（，）或（，）．