【題目】數(shù)學課上,老師給出了如下問題:

已知:如圖1,在RtABC中,C=90°,AC=BC,延長CB到點D,DBE=45°,點F是邊BC上一點,連結(jié)AF,作FEAF,交BE于點E.

(1)求證:CAF=DFE;

(2)求證:AF=EF.

經(jīng)過獨立思考后,老師讓同學們小組交流.小輝同學說出了對于第二問的想法:“我想通過構(gòu)造含有邊AF和EF的全等三角形,因此我過點E作EGCD于G(如圖2所示),如果能證明RtACF和RtFGE全等,問題就解決了.但是這兩個三角形證不出來相等的邊,好像這樣作輔助線行不通.”小亮同學說:“既然這樣作輔助線證不出來,再考慮有沒有其他添加輔助線的方法.”請你順著小亮同學的思路在圖3中繼續(xù)嘗試,并完成(1)、(2)問的證明.

【答案】(1)見解析;(2)見解析

【解析】

(1)依據(jù)“同角的余角相等”,即可得到CAF=DFE;

(2)在AC 上截取AG=BF,連結(jié)FG,依據(jù)ASA即可判定AGF≌△FBE,進而得出AF=EF.

證明:(1)∵∠C=90°,

∴∠CAF+AFC=90°.

FEAF,

∴∠DFE+AFC=90°.

∴∠CAF=DFE.

(2)如圖3,在AC上截取AG=BF,連結(jié)FG,

AC=BC,

AC-AG=BC-BF,即CG=CF.

∵∠C=90°,

∴∠CGF=CFG=45°.

∴∠AGF=180°-CGF=135°.

∵∠DBE=45°,

∴∠FBE=180°-DBE=135°.

∴∠AGF=FBE.

由(1)可得:CAF=DFE.

∴△AGF≌△FBE(ASA).

AF=EF.

練習冊系列答案
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