Question

【題目】已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，DE⊥BC于E，連接BD，設(shè)AD＝m，DC＝n，BE＝p，DE＝q．

（1）若tanC＝2，BE＝3，CE＝2，求點(diǎn)B到CD的距離；

（2）若m＝n， BD＝3，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）;（2）9．

【解析】

（1）要求點(diǎn)B到CD的距離，于是作垂線構(gòu)造直角三角形，又知tanC=2，BE=3，CE=2，可以得到BF=2FC，設(shè)未知數(shù)根據(jù)勾股定理列方程可以求解；

（2）m=n，即AD=DC，通過(guò)作垂線，構(gòu)造全等三角形將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求正方形BEDG的面積即可．

（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD，垂足為F，則∠BFC＝90°，

∵DE⊥BC，

∴∠DEC＝∠DEB＝90°，

在Rt△DEC中，∵tanC＝2，EC＝2，

∴DE＝4，

在Rt△BFC中，∵tanC＝2，∴BF＝2FC，

設(shè)BF＝x，則FC＝x，∵BF2+FC2＝BC2，

∴x2+（x）2＝（3+2）2，

解得：x＝，即：BF＝，

答：點(diǎn)B到CD的距離是；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，

∵四邊形ABCD的內(nèi)角和是360°，∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴∠C+∠BAD＝180°，

又∵∠BAD+∠GAD＝180°，

∴∠C＝∠GAD，

∵∠DEC＝∠G＝90°，AD＝CD

∴△DEC≌△DGA，（AAS）

∴DE＝DG，

∴四邊形BEDG是正方形，

∴S四邊形ABCD＝S正方形BEDG＝BD2＝9．

答：四邊形ABCD的面積是9．