Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A(m，n)（m＞0）在雙曲線y＝上．

（1）如圖1，m＝1，∠AOB＝45°，點B正好在y＝（x＞0）上，求B點坐標；

（2）如圖2，線段OA繞O點旋轉至OC，且C點正好落在y＝上，C(a，b)，試求m與a的數(shù)量關系．

Answer 1

【答案】（1）B(，)；（2）或，

【解析】

(1)作出輔助線如圖，證得Rt△FAORt△DAG，求得點G的坐標為(5，3)，繼而求得直線OG的解析式，從而求得點B的坐標；

(2)由題意得A(m，)，C(a，)，OA2=OC2，計算整理得(m2-a2)(1-)=0，即可求解．

(1)∵點A(m，n)在雙曲線y=上，且m=1，

∴，

∴點A的坐標為(1，4)，

作AG⊥OA交直線OB于點G，作GE⊥y軸于E，作AF⊥y軸于F，作AD⊥軸交GE于點D，如圖所示：

∵點A的坐標為(1，4)，

∴FA=1，FO=4，

∵AG⊥OA，∠AOB=45°，

∴△AOG為等腰直角三角形，

∴AO=AG，

∵∠FAO+∠OAD=∠DAG+∠OAD=90°，

∴∠FAO=∠DAG，

∴Rt△FAORt△DAG，

∴FO= DG=4，FA=DA=1，

∵GE⊥y軸， AF⊥y軸，AD⊥軸，FA=DA=1，

∴四邊形ADEF為正方形，

∴FA=DA= DE=EF=1，

∴GE=DE+DG=5，EO=FO-EF=3，

∴點G的坐標為(5，3)，

設直線OG的解析式為，

把點G的坐標為(5，3)代入得：，

∴直線OG的解析式為，

解方程組，

得：(負值已舍)，

∴點B的坐標為(，)；

(2)根據(jù)題意：A(m，)，C(a，)，

∵OA2=OC2，

∴m2+=2+，

整理得：(m2-a2)(1-)=0，()()()()=0，

∵，

∴或，．