【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)A,C分別在x軸,y軸的正半軸上,且OA=4,OC=3,若拋物線經(jīng)過(guò)O,A兩點(diǎn),且頂點(diǎn)在BC邊上,對(duì)稱軸交BE于點(diǎn)F,點(diǎn)D,E的坐標(biāo)分別為(3,0),(0,1).
(1)求拋物線的解析式;
(2)猜想△EDB的形狀并加以證明;
(3)點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上,點(diǎn)N在x軸上,請(qǐng)問(wèn)是否存在以點(diǎn)A,F(xiàn),M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+3x;(2)△EDB為等腰直角三角形;證明見(jiàn)解析;(3)(,2)或(,﹣2).
【解析】試題分析:(1)由條件可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及A點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;
(2)由B、D、E的坐標(biāo)可分別求得DE、BD和BE的長(zhǎng),再利用勾股定理的逆定理可進(jìn)行判斷;
(3)由B、E的坐標(biāo)可先求得直線BE的解析式,則可求得F點(diǎn)的坐標(biāo),當(dāng)AF為邊時(shí),則有FM∥AN且FM=AN,則可求得M點(diǎn)的縱坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得M點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)AF為對(duì)角線時(shí),由A、F的坐標(biāo)可求得平行四邊形的對(duì)稱中心,可設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo),則可表示出N點(diǎn)坐標(biāo),再由N點(diǎn)在x軸上可得到關(guān)于M點(diǎn)坐標(biāo)的方程,可求得M點(diǎn)坐標(biāo).
解:(1)在矩形OABC中,OA=4,OC=3,
∴A(4,0),C(0,3),
∵拋物線經(jīng)過(guò)O、A兩點(diǎn),
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣2)2+3,
把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可得0=a(4﹣2)2+3,解得a=﹣,
∴拋物線解析式為y=﹣(x﹣2)2+3,即y=﹣x2+3x;
(2)△EDB為等腰直角三角形.
證明:
由(1)可知B(4,3),且D(3,0),E(0,1),
∴DE2=32+12=10,BD2=(4﹣3)2+32=10,BE2=42+(3﹣1)2=20,
∴DE2+BD2=BE2,且DE=BD,
∴△EDB為等腰直角三角形;
(3)存在.理由如下:
設(shè)直線BE解析式為y=kx+b,
把B、E坐標(biāo)代入可得,解得,
∴直線BE解析式為y=x+1,
當(dāng)x=2時(shí),y=2,
∴F(2,2),
①當(dāng)AF為平行四邊形的一邊時(shí),則M到x軸的距離與F到x軸的距離相等,即M到x軸的距離為2,
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2或﹣2,
在y=﹣x2+3x中,令y=2可得2=﹣x2+3x,解得x=,
∵點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸右側(cè),
∴x>2,
∴x=,
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(,2);
在y=﹣x2+3x中,令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x,解得x=,
∵點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸右側(cè),
∴x>2,
∴x=,
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(,﹣2);
②當(dāng)AF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),
∵A(4,0),F(xiàn)(2,2),
∴線段AF的中點(diǎn)為(3,1),即平行四邊形的對(duì)稱中心為(3,1),
設(shè)M(t,﹣t2+3t),N(x,0),
則﹣t2+3t=2,解得t=,
∵點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸右側(cè),
∴x>2,
∵t>2,
∴t=,
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(,2);
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)M,其坐標(biāo)為(,2)或(,﹣2).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】觀察下列4個(gè)命題:其中真命題是( )
(1)三角形的外角和是180°;(2)三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)銳角;
(3)如果<0,那么y<0;(4)直線a、b、c,如果a⊥b、b⊥c,那么a⊥c.
A. (1)(2) B. (2)(3) C. (2)(4) D. (3)(4)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、BC、CA上,且DE∥CA,DF∥BA.
下列四種說(shuō)法:①四邊形AEDF是平行四邊形;②如果∠BAC=90°,那么四邊形AEDF是矩形;③如果AD平分∠BAC,那么四邊形AEDF是菱形;④如果AD⊥BC且AB=AC,那么四邊形AEDF是菱形.
其中,正確的有( ) 個(gè).
A.1 B.2 C.3 D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,彈性小球從P(2,0)出發(fā),沿所示方向運(yùn)動(dòng),每當(dāng)小球碰到正方形OABC的邊時(shí)反彈,反彈時(shí)反射角等于入射角,當(dāng)小球第一次碰到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為P1,第二次碰到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為P2…,第n次碰到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為Pn,則P2020的坐標(biāo)是( 。
A.(5,3)B.(3,5)C.(0,2)D.(2,0)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)校與圖書館在同一條筆直道路上,甲從學(xué)校去圖書館,乙從圖書館回學(xué)校,甲、乙兩人都勻速步行且同時(shí)出發(fā),乙先到達(dá)目的地兩人之間的距離y(米)與時(shí)間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示
(1)根據(jù)圖象信息,當(dāng)t= 分鐘時(shí)甲乙兩人相遇,甲的速度為 米/分鐘;
(2)求出線段AB所表示的函數(shù)表達(dá)式
(3)甲、乙兩人何時(shí)相距400米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】齊齊哈爾市教育局想知道某校學(xué)生對(duì)扎龍自然保護(hù)區(qū)的了解程度,在該校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷,問(wèn)卷有以下四個(gè)選項(xiàng):A.十分了解;B.了解較多:C.了解較少:D.不了解(要求:每名被調(diào)查的學(xué)生必選且只能選擇一項(xiàng)).現(xiàn)將調(diào)查的結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)根據(jù)兩幅統(tǒng)計(jì)圖中的信息回答下列問(wèn)題:
(1)本次被抽取的學(xué)生共有_______名;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形圖;
(3)扇形圖中的選項(xiàng)“C.了解較少”部分所占扇形的圓心角的大小為_______°;
(4)若該校共有名學(xué)生,請(qǐng)你根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果估計(jì)該校對(duì)于扎龍自然保護(hù)區(qū)“十分了解”和“了解較多”的學(xué)生共有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員在一段2000米長(zhǎng)的筆直公路上進(jìn)行跑步比賽,比賽開(kāi)始時(shí)甲在起點(diǎn),乙在甲的前面200米,他們同時(shí)同向出發(fā)勻速前進(jìn),甲的速度是8米/秒,乙的速度是6米/秒,先到終點(diǎn)者在終點(diǎn)原地等待.設(shè)甲、乙兩人之間的距離是y米,比賽時(shí)間是x秒,當(dāng)兩人都到達(dá)終點(diǎn)計(jì)時(shí)結(jié)束,整個(gè)過(guò)程中y與之間的函數(shù)圖象是( )
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A,B為定點(diǎn),定直線l//AB,P是l上一動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)M,N分別為PA,PB的中點(diǎn),對(duì)于下列各值:
①線段MN的長(zhǎng);
②△PAB的周長(zhǎng);
③△PMN的面積;
④直線MN,AB之間的距離;
⑤∠APB的大。
其中會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化的是( )
A. ②③ B. ②⑤ C. ①③④ D. ④⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y= x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),且A(﹣1,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)判斷△ABC的形狀,證明你的結(jié)論.
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