Question

圖1至圖7的正方形霓虹燈廣告牌ABCD都是20×20的等距網格（每個小方格的邊長均為1個單位長），其對稱中心為點O，如圖1，有一個邊長為6個單位長的正方形EFGH的對稱中心也是點O，它以每秒1個單位長的速度由起始位置向外擴大（即點O不動，正方形EFGH經過一秒由6×6擴大為8×8；再經過一秒，由8×8擴大為10×10；……），直到充滿正方形ABCD，再以同樣的速度逐步縮小到起始時的大小，然后一直不斷地以同樣速度再擴大、再縮小，另有一個邊長為6個單位長的正方形MNPQ從如圖1所示的位置開始，以每秒1個單位長的速度，沿正方形ABCD的內側邊緣按A→B→C→D→A移動（即正方形MNPQ從點P與點A重合位置開始，先向左平移，當點Q與點B重合時，再向上平移，當點M與點C重合時，再向右平移，當點N與點D重合時，再向下平移，到達起始位置后仍繼續(xù)按上述方式移動），正方形EFGH和正方形MNPQ從如圖1的位置同時開始運動，設運動時間為x秒，它們的重疊部分面積為y個平方單位。
（1）請你在圖2和圖3中分別畫出x為2秒、18秒時，正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重疊部分（重疊部分用陰影表示），并分別寫出重疊部分的面積；
（2）①如圖4，當1≤x≤3.5時，求y與x的函數關系式；
②如圖5，當3.5≤x≤7時，求y與x的函數關系式；
③如圖6，當7≤x≤10.5時，求y與x的函數關系式；
④如圖7，當10.5≤x≤13時，求y與x的函數關系式；
（3）對于正方形MNPQ在正方形ABCD各邊上移動一周的過程，請你根據重疊部分面積y的變化情況，指出y取得最大值和最小值時，相對應的x的取值情況，并指出最大值和最小值分別是多少。

Answer 1

解：（1）相應的圖形如圖2-1，2-2，
當x=2時，y=3；
當x=18時，y=18，
（2）①當1≤x≤3.5時，如圖2-3，
延長MN交AD于K，設MN與HG交于S，MQ與FG交于T，
則MK=6+x，SK=TQ=7-x，
從而MS=MK-SK=2x-1，MT=MQ-TQ=6-（7-x）=x-1，
∴y=MT·MS=（x-1）（2x-1）=2x²-3x+1；
②當3.5≤x≤7時，如圖2-4，設FG與MQ交于T，則TQ=7-x，
∴MT=MQ-TQ=6-（7-x）=x-1，
∴y=MN·MT=6（x-1）=6x-6；
③當7≤x≤10.5時，如圖2-5，設FG與MQ交于T，則TQ=x-7，
∴MT=MQ-TQ=6-（x-7）=13-x，
∴y=MN·MT=6（13-x）=78-6x；
④當10.5≤x≤13時，如圖2-6，設MN與EF交于S，NP交FG于R，
延長NM交BC于K，則MK=14-x，SK=RP=x-7，
∴SM=SK-MK=2x-21，從而SN=MN-SM=27-2x，NR=NP-RP=13-x，
∴y=NR·SN=（13-x）（27-2x）=2x²-53x+351，
（3）對于正方形MNPQ，
①在AB邊上移動時，當0≤x≤1及13≤x≤14時，y取得最小值0；
當x=7時，y取得最大值36；
②在BC邊上移動時，當14≤x≤15及27≤x≤28時，y取得最小值0；
當x=21時，y取得最大值36；
③在CD邊上移動時，當28≤x≤29及41≤x≤42時，y取得最小值0；當x=35時，y取得最大值36；
④在DA邊上移動時，當42≤x≤43及55≤x≤56時，y取得最小值0；當x=49時，y取得最大值36。