Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=120°，BC=2AC．

（1）利用尺規(guī)作等腰△DBC，使點(diǎn)D、A在直線BC的同側(cè)，且DB=BC，∠DBC=∠ACB（保留作圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法）；

（2）設(shè)（1）中所作的△DBC的邊DC交AB于E點(diǎn)，求證：DE=3CE．

Answer 1

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）按照題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如圖所示；

（2）利用等腰三角形BCD的性質(zhì)、△DBC的內(nèi)角和定理和圖形中的角與角間的數(shù)量關(guān)系來(lái)求∠ACE的度數(shù)；過(guò)點(diǎn)B作BM⊥DC于點(diǎn)M．由全等三角形△BME與△ACE的對(duì)應(yīng)邊相等推知ME=CE=MC．然后根據(jù)等腰三角形“三合一”的性質(zhì)證得DM=MC，最后由等量代換證得結(jié)論．

試題解析：（1）如圖所示，根據(jù)題意畫(huà)出圖形；

（2）∵BD=BC（已知），

∴∠D=∠BCD（等邊對(duì)等角）．

又∵∠DBC=120°，∠D+∠BCD+∠DBC=180°（三角形內(nèi)角和定理），

∴∠D=∠BCD=30°．

∵∠ACB=120°，∠ACB=∠ACE+∠BCD，

∴∠ACE=90°，

過(guò)點(diǎn)B作BM⊥DC于點(diǎn)M，

在Rt△BMC中，由∠BCD=30°，得BM=BC，

∵BC=2AC，

∴AC=BC，

∴BM=AC，

在△BME與△ACE中，

∵，

∴△BME≌△ACE（AAS），

∴ME=CE=MC．

∵BD=BC，BM⊥DC，

∴DM=MC，

∴ME=CE=DM，

∴DE=3CE．