【題目】如圖1,在平面直角坐標系xOy中,點A( ,0),B(3 ,0),以AB為直徑的⊙G交y軸于C,D兩點.

(1)填空:請直接寫出⊙G的半徑r,圓心G的坐標:r=;G( , ).
(2)如圖2,直線y= 與x、y軸分別交于F、E兩點,且經過圓上一點T( ,m),求證:直線EF是⊙G的切線;
(3)在(2)的條件下,如圖3,點M是⊙G優(yōu)弧 上的一個動點(不包括A、T兩點),連接AT、CM、TM,CM交AT于點N,試問,是否存在一個常數(shù)k,始終滿足CN·CM=k?如果存在,請求出k的值,如果不存在,請說明理由.

【答案】
(1);;0
(2)

解:如圖,連接GT,過點T作TH⊥x軸于點H,直線y= 與x、y軸交于E、F兩點,則易知:E(0,5),F(xiàn)(5 ,0),

∵直線EF:y= 過點T(2 ,m),則

m= +5=3,∴T(2 ,3),

故TH=3,GH= ,HF=3 ,

在Rt△GHT中,有GT=r=2 ,

∴GH= GT,∴∠GTH=30°,

在在Rt△THF中,有tan∠FTH= = ,∴∠FTH=60°,

故∠GTF=∠GTH+∠FTH=30°+60°=90°,∴GT⊥EF,

∴直線EF是⊙G的切線.


(3)

解:存在.如圖,連接 CG、CT、GT,在Rt△COG中,

在Rt△COG中,OG= ,CG=r=2

∴OC=3,∠CGO=60°,

由于C(0,3),T(2 ,3),故CT//x軸,

∴CT=2 ,

即CT=CG=GT=2 ,

∴△CGT是等邊三角形,

∴∠CGT=∠TCG=∠CGA=60°,

∴∠CTA= ∠CGA=30°.

∴∠CTA=∠CMT,

在△CNT和△CTM中,∠TCA=∠MCT,∠CTN=∠CMT,

∴△CNT~△CTM,

,

∴CN·CM=CT2=(2 2=12,

故存在一個常數(shù)12,始終范圍CN·CM=12,即:k=12.


【解析】解:(1)∵A( ,0),B(3 ,0),
∴AB=3 -( )=4 ;
則r= AB= ,OG= - = ,則G( ,0).
【考點精析】本題主要考查了圓的定義和圓心角、弧、弦的關系的相關知識點,需要掌握平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓.定點稱為圓心,定長稱為半徑;在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦也相等;在同圓或等圓中,同弧等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半才能正確解答此題.

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