Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3的圖象與x軸交于A、C兩點（點A在點C的左側），與y軸交于點B，且OA＝OB．

（1）求線段AC的長度；

（2）若點P在拋物線上，點P位于第二象限，過P作PQ⊥AB，垂足為Q．已知PQ＝，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）線段AC的長是4；（2）點P的坐標為（﹣2，3）或（﹣1，4）．

【解析】

（1）根據(jù)題意可以求得點B的坐標，從而可得到點A的坐標，進而求得函數(shù)解析式，再令y=0，即可得到點C的坐標，從而可以得到線段AC的長；
（2）根據(jù)點A和點B的坐標可以得到直線AB的函數(shù)解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質和平行線的性質，可以求得點P的坐標，本題得以解決．

（1）∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3的圖象與y軸交于點B，且OA＝OB，

∴點B的坐標為（0，3），∴OB＝OA＝3，

∴點A的坐標為（﹣3，0），∴0＝﹣（﹣3）2+b×（﹣3）+3，解得，b＝﹣2，

∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+3）（x﹣1），

∴當y＝0時，x1＝﹣3，x2＝1，

∴點C的坐標為（1，0），∴AC＝1﹣（﹣3）＝4，

即線段AC的長是4；

（2）∵點A（﹣3，0），點B（3，0），

∴直線AB的函數(shù)解析式為y＝x+3，

過點P作PD∥y軸交直線AB于點D，

設點P的坐標為（m，﹣m2﹣2m+3），則點D的坐標為（m，m+3），

∴PD＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，

∵PD∥y軸，∠ABO＝45°，

∴∠PDQ＝∠ABO＝45°，

又∵PQ⊥AB，PQ＝，

∴△PDQ是等腰直角三角形，

∴PD＝＝2，∴﹣m2﹣3m＝2，解得，m1＝﹣1，m2＝﹣2，

當m＝﹣1時，﹣m2﹣2m+3＝4，

當m＝﹣2時，﹣m2﹣2m+3＝3，

∴點P的坐標為（﹣2，3）或（﹣1，4）．