【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),且OA=3,OB=1,與y軸交于C(0,3),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(﹣1,4).
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)過(guò)點(diǎn)D作直線DE∥y軸,交x軸于點(diǎn)E,點(diǎn)P是拋物線上B、D兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與B、D兩點(diǎn)重合),PA、PB與直線DE分別交于點(diǎn)F、G,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),EF+EG是否為定值?若是,試求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)A點(diǎn)坐標(biāo)(﹣3,0),B點(diǎn)坐標(biāo)(1,0);(2)拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3;(3)EF+EG=8(或EF+EG是定值),理由見解析.
【解析】(1)根據(jù)OA,OB的長(zhǎng),可得答案;
(2)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;
(3)根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì),可得EG,EF的長(zhǎng),根據(jù)整式的加減,可得答案.
(1)由拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),且OA=3,OB=1,得
A點(diǎn)坐標(biāo)(﹣3,0),B點(diǎn)坐標(biāo)(1,0);
(2)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x﹣1),
把C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得
a(0+3)(0﹣1)=3,
解得a=﹣1,
拋物線的解析式為y=﹣(x+3)(x﹣1)=﹣x2﹣2x+3;
(3)EF+EG=8(或EF+EG是定值),理由如下:
過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交x軸于Q,如圖,
設(shè)P(t,﹣t2﹣2t+3),
則PQ=﹣t2﹣2t+3,AQ=3+t,QB=1﹣t,
∵PQ∥EF,
∴△AEF∽△AQP,
∴,
∴EF==;
又∵PQ∥EG,
∴△BEG∽△BQP,
∴,
∴EG===2(t+3),
∴EF+EG=2(1﹣t)+2(t+3)=8.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn):如圖1,△ACB和△DCE均為等邊三角形,點(diǎn)A,D,E在同一直線上,連接BE,則∠AEB的度數(shù)為 ,線段AD、BE之間的關(guān)系 .
(2)拓展探究:如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,點(diǎn)A、D、E在同一直線上,CM為△DCE中DE邊上的高,連接BE.①請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù),并說(shuō)明理由;②當(dāng)CM=5時(shí),AC比BE的長(zhǎng)度多6時(shí),求AE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于點(diǎn)D.
(1)如圖1,點(diǎn)E,F(xiàn)在AB,AC上,且∠EDF=90°.求證:BE=AF;
(2)點(diǎn)M,N分別在直線AD,AC上,且∠BMN=90°.
①如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在AD的延長(zhǎng)線上時(shí),求證:AB+AN=AM;
②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A,D之間,且∠AMN=30°時(shí),已知AB=2,直接寫出線段AM的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某自行車經(jīng)銷商計(jì)劃投入7.1萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)100輛A型和30輛B型自行車,其中B型車單價(jià)是A型車單價(jià)的6倍少60元.
(1)求A、B兩種型號(hào)的自行車單價(jià)分別是多少元?
(2)后來(lái)由于該經(jīng)銷商資金緊張,投入購(gòu)車的資金不超過(guò)5.86萬(wàn)元,但購(gòu)進(jìn)這批自行年的總數(shù)不變,那么至多能購(gòu)進(jìn)B型車多少輛?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,O、D分別是邊AC、AB的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交DO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AE.
(1)求證:四邊形AECD是菱形;
(2)若四邊形AECD的面積為24,tan∠BAC=,求BC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】A、B、C為數(shù)軸上的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)A、B同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā),動(dòng)點(diǎn)A每秒運(yùn)動(dòng)x個(gè)單位,動(dòng)點(diǎn)B每秒運(yùn)動(dòng)y個(gè)單位,且動(dòng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到的位置對(duì)應(yīng)的數(shù)記為a,動(dòng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到的位置對(duì)應(yīng)的數(shù)記為b,定點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為8.
(1)若2秒后,a、b滿足|a+8|+|b﹣2|=0,則x= ,y= .并請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上標(biāo)出A、B兩點(diǎn)的位置.
(2)若動(dòng)點(diǎn)A、B在(1)運(yùn)動(dòng)后的位置上保持原來(lái)的速度,且同時(shí)向正方向運(yùn)動(dòng)z秒后使得|a|=|b|,使得z= .
(3)若動(dòng)點(diǎn)A、B在(1)運(yùn)動(dòng)后的位置上都以每秒2個(gè)單位向正方向運(yùn)動(dòng)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)t秒,點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離表示為AC,點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC,點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為AB,且AC+BC=1.5AB,則t= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖點(diǎn) P 是等邊△ABC 內(nèi)一點(diǎn),將△APC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°得到△BDC,連接 PD.
(1)求證:△DPC 是等邊三角形;
(2)當(dāng)∠APC=150°時(shí),試判斷△DPB 的形狀,并說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)∠APB=100°且△DPB 是等腰三角形,求∠APC 的度數(shù)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn),與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)A,PB⊥y軸于點(diǎn)B,已知B(0,4)且S△DBP=27.
(1)直接寫出直線的解析式_____________,雙曲線的解析式____________;
(2)設(shè)點(diǎn)Q是直線上的一點(diǎn),且滿足△DOQ的面積是△COD面積的2倍,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了參加“荊州市中小學(xué)生首屆詩(shī)詞大會(huì)”,某校八年級(jí)的兩班學(xué)生進(jìn)行了預(yù)選,其中班上前5名學(xué)生的成績(jī)(百分制)分別為:八(1)班86,85,77,92,85;八(2)班79,85,92,85,89.通過(guò)數(shù)據(jù)分析,列表如下:
班級(jí) | 平均分 | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 方差 |
八(1) | 85 | b | c | 22.8 |
八(2) | a | 85 | 85 | 19.2 |
(1)直接寫出表中a,b,c的值;
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析,你認(rèn)為哪個(gè)班前5名同學(xué)的成績(jī)較好?說(shuō)明理由.
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