Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E．

（1）如圖1，連接CE，求證：△BCE是等邊三角形；

（2）如圖2，點M為CE上一點，連結(jié)BM，作等邊△BMN，連接EN，求證：EN∥BC；

（3）如圖3，點P為線段AD上一點，連結(jié)BP，作∠BPQ=60°，PQ交DE延長線于Q，探究線段PD，DQ與AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）DQ=AD+DP.

【解析】

（1）由直角三角形的性質(zhì)得出∠ABC=60°，由角平分線的定義得出∠A=∠DBA，證出AD=BD，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=BE，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CE=AB=BE，即可得出結(jié)論；

（2）由等邊三角形的性質(zhì)得出BC=BE，BM=BN，∠EBC=∠MBN=60°，證出∠CBM=∠EBN，由SAS證明△CBM≌△EBN，得出∠BEN=∠BCM=60°，得出∠BEN=∠EBC，即可得出結(jié)論；
（3）延長BD至F，使DF=PD，連接PF，證出△PDF為等邊三角形，得出PF=PD=DF，∠F=∠PDQ=60°，得到∠F=∠PDQ=60°，證出∠Q=∠PBF，由AAS證明△PFB≌△PDQ，得出DQ=BF=BD+DF=BD+DP，證出AD=BD，即可得出結(jié)論．

（1）證明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BD是△ABC的角平分線，
∴∠DBA=∠ABC=30°，
∴∠A=∠DBA，
∴AD=BD，
∵DE⊥AB，
∴AE=BE，

∴CE=AB=BE，
∴△BCE是等邊三角形；
（2）證明：∵△BCE與△MNB都是等邊三角形，
∴BC=BE，BM=BN，∠EBC=∠MBN=60°，
∴∠CBM=∠EBN，
在△CBM和△EBN中，

∴△CBM≌△EBN（SAS），
∴∠BEN=∠BCM=60°，
∴∠BEN=∠EBC，
∴EN∥BC；

（3）解：DQ=AD+DP；理由如下：
延長BD至F，使DF=PD，連接PF，如圖所示：

∵∠PDF=∠BDC=∠A+∠DBA=30°+30°=60°，
∴△PDF為等邊三角形，
∴PF=PD=DF，∠F=60°，
∵∠PDQ=90°-∠A=60°，
∴∠F=∠PDQ=60°，
∴∠BDQ=180°-∠BDC-∠PDQ=60°，
∴∠BPQ=∠BDQ=60°，
∴∠Q=∠PBF，
在△PFB和△PDQ中，

∴△PFB≌△PDQ，
∴DQ=BF=BD+DF=BD+DP，
∵∠A=∠ABD，
∴AD=BD，
∴DQ=AD+DP．