【題目】如圖,正方形ABCD的對角線相交于點O,∠CAB的平分線分別交BD、BC于E、F,作BH⊥AF于點H,分別交AC、CD于點G、P,連結(jié)GE、GF.
(1)求證:△OAE≌△OBG.
(2)試問:四邊形BFGE是否為菱形?若是,請證明;若不是,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)菱形.
【解析】試題分析:
(1)這兩個三角形有一條直角邊相等,一個直角相等只需證還有一條邊相等即可;
(2)先證AF是BG的垂直平分線,再分別求出∠BEF和∠BFE的度數(shù).
試題解析:
(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠AOE=∠BOG=90°.
∵BH⊥AF,∴∠AHG=∠AHB=90°,∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH,
∴∠GAH=∠OBG,即∠OAE=∠OBG.
∴在△OAE與△OBG中,,
∴△OAE≌△OBG(ASA);
(2)解:四邊形BFGE為菱形;理由如下:
在△AHG與△AHB中,,
∴△AHG≌△AHB(ASA),∴GH=BH,
∴AF是線段BG的垂直平分線,∴EG=EB,F(xiàn)G=FB.
∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=67.5°,∠BFE=90°﹣∠BAF=67.5°,
∴∠BEF=∠BFE,∴EB=FB,∴EG=EB=FB=FG,
∴四邊形BFGE是菱形.
點睛;本題主要考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、菱形的判定、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識點是一個比較難的四邊形的綜合題,在證明的過程中要注意一個基本幾何圖形“8字形”的運用,如下圖通常稱為“8字形”,如果∠A=∠B,那么∠D=∠C,這種尋找角的關系的圖形在幾何證明中會經(jīng)常遇到,需要熟悉掌握.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小明設計了一個問題,分兩步完成:
(1)已知關于x的一元一次方程,請畫出數(shù)軸,并在數(shù)軸上標注a與對應的點,分別記作A,B;
(2)在第1問的條件下,在數(shù)軸上另有一點C對應的數(shù)為y,C與A的距離是C與B的距離的5倍,且C在表示5的點的左側(cè),求y的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,M,N分別是邊AD,BC的中點,E,F分別是線段BM,CM的中點.
(1)求證:△ABM≌△DCM;
(2)判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形,并證明你的結(jié)論;
(3)當AD∶AB=__________時,四邊形MENF是正方形(只寫結(jié)論,不需證明).
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【題目】如圖,在△ABC中,∠A=45°,∠B=60°,AB=4,P是BC邊上的動點(不與B,C重合),點P關于直線AB,AC的對稱點分別為M,N,則線段MN長的取值范圍是 .
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分別為E,F(xiàn),BE=DF,AE=CF.
(1)求證:△AFD≌△CEB;
(2)若∠CBE=∠BAC,四邊形ABCD是怎樣的四邊形?證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖①,在一條筆直的公路上有M、P、N三個地點,M、P兩地相距20km,甲開汽車,乙騎自行車分別從M、P兩地同時出發(fā),勻速前往N地,到達N地后停止運動.已知乙騎自行車的速度為20km/h,甲,乙兩人之間的距離y(km)與乙行駛的時間t(h)之間的關系如圖②所示.
(1)M、N兩地之間的距離為km;
(2)求線段BC所表示的y與t之間的函數(shù)表達式;
(3)若乙到達N地后,甲,乙立即以各自原速度返回M地,請在圖②所給的直角坐標系中補全函數(shù)圖象.
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【題目】如圖,在□ABCD中,以點A為圓心,AB長為半徑畫弧交AD于點F,再分別以點B、F為圓心,以大于BF的相同長為半徑畫弧,兩弧交于點P;連接AP并延長交BC于點E,連接EF,得四邊形ABEF.
求證:四邊形ABEF是菱形.
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【題目】如圖,已知∠AOB=120°,OC⊥OB,按下列要求利用量角器過點O作出射線OD、OE;
(1)在圖①中作出射線OD滿足∠COD=50°,并直接寫出∠AOD的度數(shù)是 ;
(2)在圖②中作出射線OD、OE,使得OD平分∠AOC,OE平分∠BOD,并求∠COE的度數(shù);
(3)如圖③,若射線OD從OA出發(fā)以每秒10°的速度繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn),同時射線OE從OC出發(fā)以每秒5°的速度繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn),設旋轉(zhuǎn)的時間為t秒,在旋轉(zhuǎn)過程中,當OB第一次恰好平分∠DOE時,求出t的值,并作出此時OD、OE的大概位置.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,兩個不同的一次函數(shù)y=ax+b與y=bx+a的圖象在同一平面直角坐標系內(nèi)的位置可能是( )
A. A B. B C. C D. D
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