Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線分別交于軸、軸上的兩點(diǎn)，設(shè)該拋物線與軸的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交軸于點(diǎn).

求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；

求的正切值；

如果點(diǎn)在軸上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x-3；（2）；（3）①；②

【解析】

（1）y=x-3，令y=0，則x=6，令x=0，則y=-3，求出則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，將點(diǎn)B、C坐標(biāo)代入拋物線y=-x2+bx+c，即可求解；

（2）求出點(diǎn)E（3，0），EH=EBsin∠OBC=，CE=3，則CH=，即可求解；

（3）分點(diǎn)F在y軸負(fù)半軸和在y軸正半軸兩種情況，分別求解即可．

（1）y=x-3，令y=0，則x=6，令x=0，則y=-3，

則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（6，0）、（0，-3），則c=-3，

將點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線y=-x2+bx-3得：0=-×36-6b-3，

解得：b=2，

故拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+2x-3，

令y=0，則x=6或-2，

即點(diǎn)A（2，0），

y=-x2+2x-3=- (x-4)2+1

則點(diǎn)D（4，1）；

（2）過點(diǎn)E作EH⊥BC交于點(diǎn)H，

C、D的坐標(biāo)分別為：（0，-3）、（4，1），

直線CD的表達(dá)式為：y=x-3，則點(diǎn)E（3，0），

tan∠OBC=，

則sin∠OBC=，

則EH=EBsin∠OBC=，

CE=3，則CH=，

則tan∠DCB=；

（3）點(diǎn)A、B、C、D、E的坐標(biāo)分別為（2，0）、（6，0）、（0，-3）、（4，1）、（3，0），

則BC=3，

∵OE=OC，

∴∠AEC=45°，

tan∠DBE==，

故：∠DBE=∠OBC，

則∠FBC=∠DBA+∠DCB=∠AEC=45°，

①當(dāng)點(diǎn)F在y軸負(fù)半軸時，

過點(diǎn)F作FG⊥BG交BC的延長線與點(diǎn)G，

則∠GFC=∠OBC=α，

設(shè)：GF=2m，則CG=CGtanα=m，

∵∠CBF=45°，

∴BG=GF，

即：3+m=2m，解得：m=3，
CF==m=15，

故點(diǎn)F（0，-18）；

②當(dāng)點(diǎn)F在y軸正半軸時，

同理可得：點(diǎn)F（0，2）；

故：點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，2）或（0，-18）．