Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中點，AD⊥AE．

（1）求證：AC2=CDBC；
（2）過E作EG⊥AB，并延長EG至點K，使EK=EB．
①若點H是點D關(guān)于AC的對稱點，點F為AC的中點，求證：FH⊥GH；
②若∠B=30°，求證：四邊形AKEC是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AC平分∠BCD，

∴∠DCA=∠ACB．

又∵AC⊥AB，AD⊥AE，

∴∠DAC+∠CAE=90°，∠CAE+∠EAB=90°，

∴∠DAC=∠EAB．

又∵E是BC的中點，

∴AE=BE，

∴∠EAB=∠ABC，

∴∠DAC=∠ABC，

∴△ACD∽△BCA，

∴ ，

∴AC2=CDBC；

（2）

證明：

①證明：連接AH．

∵∠ADC=∠BAC=90°，點H、D關(guān)于AC對稱，

∴AH⊥BC．

∵EG⊥AB，AE=BE，

∴點G是AB的中點，

∴HG=AG，

∴∠GAH=GHA．

∵點F為AC的中點，

∴AF=FH，

∴∠HAF=∠FHA，

∴∠FHG=∠AHF+∠AHG=∠FAH+∠HAG=∠CAB=90°，

∴FH⊥GH；

②∵EK⊥AB，AC⊥AB，

∴EK∥AC，

又∵∠B=30°，

∴AC= BC=EB=EC．

又EK=EB，

∴EK=AC，即四邊形AKEC是平行四邊形。

∵EC=EB=EK

∴四邊形AKEC是菱形．

【解析】（1）欲證明AC2=CDBC，只需推知△ACD∽△BCA即可；（2）①連接AH．構(gòu)建直角△AHC，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰對等角以及等量代換得到：∠FHG=∠CAB=90°，即FH⊥GH；
②利用“在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”、“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”推知四邊形AKEC的四條邊都相等，則四邊形AKEC是菱形．本題考查了四邊形綜合題，需要熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”、“在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”以及菱形的判定才能解答該題，難度較大．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直角三角形斜邊上的中線和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．