【題目】綜合與實踐
數(shù)學(xué)活動課上,小紅畫了如圖1所示的兩個共用直角頂點的等腰直角三角形與等腰直角三角形,其中,,連接,、、分別為邊、、的中點,連接、.
操作發(fā)現(xiàn):
小紅發(fā)現(xiàn)了:、有一定的關(guān)系,數(shù)量關(guān)系為_____________________________;位置關(guān)系為_________________.
類比思考:
如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上,將等腰直角三角形繞點旋轉(zhuǎn)一定的角度,其它條件都不變,小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎?請說明理由.(提示:連接、并延長交于一點)
深入探究:
在上述類比思考的基礎(chǔ)上,小紅做了進一步的探究.如圖3,作任意一個三角形,其中,在三角形外側(cè)以為腰作等腰直角三角形,以為腰作等腰直角三角形,分別取斜邊、與邊的中點、、,連接、、,試判斷三角形的形狀,并說明理由.
【答案】操作發(fā)現(xiàn):MG=NG,MG⊥NG;類比思考:MG=NG,MG⊥NG成立,理由見解析;深入探究:△MGN是等腰直角三角形,理由見解析.
【解析】
操作發(fā)現(xiàn):利用SAS判斷出△ACD≌△AEB,得出CD=BE,∠ADC=∠ABE,進而判斷出∠BDC+∠DBH=90°,即:∠BHD=90°,最后用三角形中位線定理即可得出結(jié)論;
類比思考:同操作發(fā)現(xiàn)的方法得出MG=NG,最后利用三角形中位線定理和等量代換即可得出結(jié)論;
深入探究:同操作發(fā)現(xiàn)的方法即可得出結(jié)論.
解:操作發(fā)現(xiàn):如圖1,連接BE,CD相交于H,
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形,
∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°
∴∠CAD=∠BAE,
∴△ACD≌△AEB(SAS),
∴CD=BE,∠ADC=∠ABE,
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°,
∴∠BHD=90°,
∴CD⊥BE,
∵點M,G分別是BD,BC的中點,
∴MG∥CD,MG= CD,
同理:NG∥BE,NG=BE,
∴MG=NG,MG⊥NG,
故答案為:MG=NG,MG⊥NG;
類比思考:MG=NG,MG⊥NG成立,
理由:如圖2,連接、并延長交于一點
同操作發(fā)現(xiàn)的方法得,MG=NG,
同操作發(fā)現(xiàn)的方法得,△ABE≌△ADC,
∴∠AEB=∠ACD,
∴∠CEF+∠ECF=∠AEF-∠AEC+180°-∠ACD-∠ACE=∠ACD-45°+180°-∠ACD-45°=90°,
∴∠DFE=90°,
同操作發(fā)現(xiàn)的方法得,MG⊥NG,
∴MG=NG,MG⊥NG;
深入探究:△MGN是等腰直角三角形,
理由:如圖3,連接CD,BE相交于點H,
同操作發(fā)現(xiàn)的方法得,MG=NG,MG⊥NG,
∴△MGN是等腰直角三角形.
故答案為:操作發(fā)現(xiàn):MG=NG,MG⊥NG;類比思考:MG=NG,MG⊥NG成立,理由見解析;深入探究:△MGN是等腰直角三角形,理由見解析.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠AOB=120°,點A繞點O順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點A1落在射線OB上,點A繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點A2落在射線OB上,點A繞點A2順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點A3落在射線OB上,…,連接AA1,AA2,AA3…,依此作法,則∠AAnAn+1等于______度.(用含n的代數(shù)式表示,n為正整數(shù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中的一個問題,其大意為:有一群人分銀子,如果每人分七兩,則剩余四兩;如果每人分九兩,則還差八兩(注:明代時1斤= 16兩,故有“半斤八兩”這個成語.則下列設(shè)未知數(shù)列方程正確的序號是____.
①設(shè)這群人人數(shù)為x,根據(jù)題意得7x- 4=9x+ 8;
②設(shè)這群人人數(shù)為x,根據(jù)題意得7x+ 4= 9x一8;
③設(shè)所分銀子的數(shù)量為x兩,根據(jù)題意得=
④設(shè)所分銀子的數(shù)量為x兩,根據(jù)題意得=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點A,O,E在同一條直線上,∠BOD= 90°,OD是∠COE的角平分線,找出圖中與∠DOE互余的角.甲、乙、丙三個同學(xué)的答案如下:
甲:只有一個角,是∠AOB:
乙:有兩個角,是∠AOB和∠BOC:
丙:有三個角,是∠AOB,∠BOC,∠COD.
(1)請你判斷哪個同學(xué)的答案是正確的?
(2)請你說明正確答案的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里.
﹣4,﹣|﹣|,0,,﹣3.14,2019,﹣(+5),+1.88,
(1)正數(shù)集合:{ _____…};(2)負(fù)數(shù)集合:{__________…};
(3)分?jǐn)?shù)集合:{_______…};(4)非負(fù)整數(shù)集合:{_______…}.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】泰興出租車司機小李某天下午的營運全是在東西走向的國慶路上進行的,若規(guī)定向東為正,向西為負(fù),這天下午的行車?yán)锍倘缦拢▎挝唬呵祝?/span>,,,,,,(單位:千米).
(1)將最后一名乘客送到目的地后,小李距下午出發(fā)地點的距離是多少千米?
(2)若出租車每行駛耗油,這天下午這輛出租車共消耗多少升汽油?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,兩艘海監(jiān)船剛好在某島東西海岸線上的A、B兩處巡邏,同時發(fā)現(xiàn)一艘不明國籍船只停在C處海域,AB=60(+3)海里,在B處測得C在北偏東45°方向上,A處測得C在北偏西30°方向上,在海岸線AB上有一等他D,測得AD=100海里.
(1)分別求出AC,BC(結(jié)果保留根號)
(2)已知在燈塔D周圍80海里范圍內(nèi)有暗礁群,在A處海監(jiān)船沿AC前往C處盤看,圖中有無觸礁的危險?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的一元二次方程.
(1)用含有的式子表示判別式________;
(2)當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時,方程有兩個不相等的實數(shù)根;
(3)若該方程有兩個不相等的實數(shù)根,,問當(dāng)取何值時.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是關(guān)于的二次多項式,且二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為和,在數(shù)軸上、、三點所對應(yīng)的數(shù)分別是、、.
(1)有一動點從點出發(fā),以每秒個單位的速度向左運動,多少秒后,到、、的距離和為個單位?
(2)在(1)的條件下,當(dāng)點移動到點時立即掉頭,速度不變,同時點和點分別從點和點出發(fā),向右運動,點的速度個單位秒,點的速度個單位秒.設(shè)點、、所對應(yīng)的數(shù)分別是、、,點出發(fā)的時間為,當(dāng)時,求的值.
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