【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是AB邊的中點,沿EC對折矩形ABCD,使B點落在點P處,折痕為EC,聯結AP并延長AP交CD于F點,
(1)求證:四邊形AECF為平行四邊形;
(2)如果PA=PC,聯結BP,求證:△APB△EPC.
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】
(1)由折疊的性質得到EC垂直平分BP,根據E為AB中點,得到AE=EB,根據EQ為△ABP的中位線,得出AF∥EC即可;
(2)由翻折性質∠EPC=∠EBC=,∠PEC=∠BEC,再求出△AEP為等邊三角形即可求解.
解:(1)證明:由折疊得到EC垂直平分BP,
設EC與BP交于Q,∴BQ=EQ
∵E為AB的中點, ∴AE=EB,
∴EQ為△ABP的中位線,∴AF∥EC,
∵AE∥FC, ∴四邊形AECF為平行四邊形;
(2)∵AF∥EC,∴∠APB=∠EQB=90°
由翻折性質∠EPC=∠EBC=90°,∠PEC=∠BEC
∵E為直角△APB斜邊AB的中點,且AP=EP,
∴△AEP為等邊三角形 , ∠BAP=∠AEP=60°,
在△ABP和△EPC中, ∠BAP=∠CEP,∠APB=∠EPC,AP=EP
∴△ABP≌△EPC(AAS),
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【題目】 已知:Rt△EFP和矩形ABCD如圖①擺放(點P與點B重合),點F,B(P),C在同一條直線上,AB=EF=6cm,BC=FP=8cm,∠EFP=90°。如圖②,△EFP從圖①的位置出發(fā),沿BC方向勻速運動,速度為1cm/s;EP與AB交于點G.同時,點Q從點C出發(fā),沿CD方向勻速運動,速度為1cm/s。過Q作QM⊥BD,垂足為H,交AD于M,連接AF,PQ,當點Q停止運動時,△EFP也停止運動.設運動時間為t(s)(0<t<6),解答下列問題:
(1)當 t 為何值時,PQ∥BD?
(2)設五邊形 AFPQM 的面積為 y(cm2),求 y 與 t 之間的函數關系式;
(3)在運動過程中,是否存在某一時刻 t,使?若存在,求出 t 的值;若不存在,請說明理由;
(4)在運動過程中,是否存在某一時刻 t,使點M在PG的垂直平分線上?若存在,求出 t 的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,已知梯形ABCD中,AD//BC ,∠ABC=90°,BC=2AB=8,對角線AC平分∠BCD,過點D作DE⊥AC,垂足為點E,交邊AB的延長線于點F,聯結CF.
(1)求腰DC的長;
(2)求∠BCF的余弦值.
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【題目】已知在△ABC中,AB=AC. (1)若∠A=36,在△ABC中畫一條線段,能得到2個等腰三角形(不包括△ABC),這2個等腰三角形的頂角的度數分別是_____;(2)若∠A≠36, 當∠A=_____時,在等腰△ABC中畫一條線段,能得到2個等腰三角形(不包括△ABC).(寫出兩個答案即可)
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【題目】關于x的方程(2m+1)x2+4mx+2m﹣3=0有兩個不相等的實數根.
(1)求m的取值范圍;
(2)是否存在實數m,使方程的兩個實數根的倒數之和等于﹣1?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.
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【題目】某乒乓球館普通票價20元/張,暑假為了促銷,新推出兩種優(yōu)惠卡:①金卡售價600元/張,每次憑卡不再收費;②銀卡售價150元/張,每次憑卡另收10元;暑期普通票正常出售,兩種優(yōu)惠卡僅限暑期使用,不限次數.設打乒乓x次時,所需總費用為y元.
(1)分別寫出選擇銀卡、普通票消費時,y與x之間的函數關系式;
(2)在同一個坐標系中,若三種消費方式對應的函數圖像如圖所示,請根據函數圖像,寫出選擇哪種消費方式更合算.
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【題目】在平面直角坐標系中,直線 與軸、軸分別交于點A、B如圖所示,點在線段的延長線上,且.
(1)用含字母的代數式表示點的坐標;
(2)拋物線y經過點、,求此拋物線的表達式;
(3)在第(2)題的條件下,位于第四象限的拋物線上,是否存在這樣的點:使,如果存在,求出點的坐標,如果不存在,試說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點P(1,4)、Q(m,n)在函數y=(k>0)的圖象上,當m>1時,過點P分別作x軸、y軸的垂線,垂足為點A、B;過點Q分別作x軸、y軸的垂線,垂足為點C、D,QD交PA于點E,隨著m的增大,四邊形ACQE的面積( )
A. 增大 B. 減小
C. 先減小后增大 D. 先增大后減小
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【題目】甲杯中盛有m毫升紅墨水,乙杯中盛有m毫升藍墨水,從甲杯中倒出a毫升到乙杯里(0<a<m),攪勻后,又從乙杯倒出a毫升到甲杯里,則這時( )
A. 甲杯中混入的藍墨水比乙杯中混入的紅墨水少
B. 甲杯中混入的藍墨水比乙杯中混入的紅墨水多
C. 甲杯中混入的藍墨水和乙杯中混入的紅墨水相同
D. 甲杯中混入的藍墨水與乙杯中混入的紅墨水多少關系不定
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