【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y= x+2交于C、D兩點(diǎn),其中點(diǎn)C在y軸上,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3, ).點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動點(diǎn),過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F.

(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,當(dāng)m為何值時(shí),以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?請說明理由.
(3)若存在點(diǎn)P,使∠PCF=45°,請直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:在直線解析式y(tǒng)= x+2中,令x=0,得y=2,

∴C(0,2).

∵點(diǎn)C(0,2)、D(3, )在拋物線y=﹣x2+bx+c上,

,

解得b= ,c=2,

∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+ x+2.


(2)

解:∵PF∥OC,且以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,

∴PF=OC=2,

∴將直線y= x+2沿y軸向上、下平移2個(gè)單位之后得到的直線,與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn),即為所求之交點(diǎn).

由答圖1可以直觀地看出,這樣的交點(diǎn)有3個(gè).

將直線y= x+2沿y軸向上平移2個(gè)單位,得到直線y= x+4,

聯(lián)立 ,

解得x1=1,x2=2,

∴m1=1,m2=2;

將直線y= x+2沿y軸向下平移2個(gè)單位,得到直線y= x,

聯(lián)立

解得x3= ,x4= (在y軸左側(cè),不合題意,舍去),

∴m3=

∴當(dāng)m為值為1,2或 時(shí),以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.


(3)

解:存在.

理由:設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,則P(m,﹣m2+ m+2),F(xiàn)(m, m+2).

如答圖2所示,過點(diǎn)C作CM⊥PE于點(diǎn)M,則CM=m,EM=2,

∴FM=yF﹣EM= m,

∴tan∠CFM=2.

在Rt△CFM中,由勾股定理得:CF= m.

過點(diǎn)P作PN⊥CD于點(diǎn)N,

則PN=FNtan∠PFN=FNtan∠CFM=2FN.

∵∠PCF=45°,

∴PN=CN,

而PN=2FN,

∴FN=CF= m,PN=2FN= m,

在Rt△PFN中,由勾股定理得:PF= = m.

∵PF=yP﹣yF=(﹣m2+ m+2)﹣( m+2)=﹣m2+3m,

∴﹣m2+3m= m,

整理得:m2 m=0,

解得m=0(舍去)或m= ,

∴P( );

同理求得,另一點(diǎn)為P( , ).

∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )或( , ).


【解析】(1)首先求出點(diǎn)C的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;(2)本問采用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想求解.將直線y= x+2沿y軸向上或向下平移2個(gè)單位之后得到的直線,與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn),即為所求之交點(diǎn).由答圖1可以直觀地看出,這樣的交點(diǎn)有3個(gè).聯(lián)立解析式解方程組,即可求出m的值;(3)本問符合條件的點(diǎn)P有2個(gè),如答圖2所示,注意不要漏解.在求點(diǎn)P坐標(biāo)的時(shí)候,需要充分挖掘已知條件,構(gòu)造直角三角形或相似三角形,解方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小.

練習(xí)冊系列答案
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最喜歡的

球類活動

籃球

排球

足球

乒乓球

其他

人數(shù)

185

175

260

330

50

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(2)哪兩種球類運(yùn)動受歡迎的程度差不多?

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