Question

【題目】對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙M，給出如下定義：若⊙M上存在兩個點(diǎn)A，B，使AB=2PM，則稱點(diǎn)P為⊙M的“美好點(diǎn)”.

(1)當(dāng)⊙M半徑為2，點(diǎn)M和點(diǎn)O重合時，

①點(diǎn)P1(-2，0)，P2(1，1)，P3(2，2)中，⊙O的“美好點(diǎn)”是______；

②點(diǎn)P為直線y=x+b上一動點(diǎn)，點(diǎn)P為⊙O的“美好點(diǎn)”，求b的取值范圍；

(2)點(diǎn)M為直線y=x上一動點(diǎn)，以2為半徑作⊙M，點(diǎn)P為直線y=4上一動點(diǎn)，點(diǎn)P為⊙M的“美好點(diǎn)”，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)①P1，P2；②；(2)2≤m≤6.

【解析】

利用圓的性質(zhì)，圓的切線定理可依次推導(dǎo)出.

解：(1)①因為

則有當(dāng)AB最長為直徑時，“美好點(diǎn)”在圓周上；

當(dāng)AB小于直徑時，2PM＜直徑，“美好點(diǎn)”在圓內(nèi).

所以點(diǎn)P的軌跡在圓內(nèi)部和圓周上.

P1(-2，0)在圓上，P2（1,1）在圓內(nèi)； P3（2,2）在圓外，所以選P1和P2.

②當(dāng)直線與⊙O相切時，直線與X軸正向夾角為45°.

如圖：直線與圓相切，則有或；

∴.

(2) 因為點(diǎn)M為直線上一動點(diǎn), 點(diǎn)P作為⊙M的“美好點(diǎn)”又是直線上一動點(diǎn),

直線 可以得到直線與X軸正向夾角為45°.

⊙M半徑為2,考慮臨界情況: ⊙M與相切

∴當(dāng)直線y=4與⊙M相切時，則有

M1在 下方，此時M1橫坐標(biāo)即為2

M2在 上方, M2的橫坐標(biāo)為2+4=6.

∴ .