Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸，y軸分別交于A（3，0），B（0，

3

）兩點(diǎn)，點(diǎn)C為線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若S_△ACD=

3

6

，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以P，O，B為頂點(diǎn)的三角形與△OBA相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法即可求出答案；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)C為線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，CD⊥x軸于點(diǎn)D，所以可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，-

3

3

x+

3

），那么OD=x，AD=3-x，CD=-

3

3

x+

3

，利用三角形的面積公式列出關(guān)于x的方程，解方程即可，但要注意x的取值；
（3）因?yàn)椤螦OB=90°，所以以P，O，B為頂點(diǎn)的三角形與△OBA相似需分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)∠OBP=90°時(shí)，又分△BPO∽△OAB；△BOP∽△OAB；②當(dāng)∠OPB=90°時(shí)，過點(diǎn)O作OP⊥BC于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥OA于點(diǎn)M．又分△PBO∽△OBA；△POB∽△OBA；③當(dāng)∠POB=90°時(shí)，點(diǎn)P在x軸上，不符合要求．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∵A（3，0），B（0，

3

），
∴

3k+b=0 b= 3

，解得

k=- 3 3 b= 3

，
∴直線AB的解析式為y=-

3

3

x+

3

；

（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，-

3

3

x+

3

），則0≤x≤3，OD=x，AD=OA-OD=3-x，CD=-

3

3

x+

3

，
∵S_△ACD=

3

6

，
∴

1

2

（3-x）（-

3

3

x+

3

）=

3

6

，
整理，得x²-6x+8=0，
解得x₁=2，x₂=4（不合題意舍去），
∴C的坐標(biāo)為（2，

3

3

）；

（3）以P，O，B為頂點(diǎn)的三角形與△OBA相似時(shí)，分三種情況：
①當(dāng)∠OBP=90°時(shí)，如圖．
若△BPO∽△OAB，則∠BPO=∠OAB=30°，BP=

3

OB=3，
∴P₁（3，

3

）；
若△BOP∽△OAB，則∠BOP=∠OAB=30°，BP=

3

3

OB=1，
∴P₂（1，

3

）；
②當(dāng)∠OPB=90°時(shí)，如圖．
過點(diǎn)O作OP⊥BA于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥OA于點(diǎn)M．
若△PBO∽△OBA，則∠BOP=∠BAO=30°，
在Rt△PBO中，BP=

1

2

OB=

3

2

，OP=

3

BP=

3

2

．
∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°，
∴OM=

1

2

OP=

3

4

，PM=

3

OM=

3 3

4

，
∴P₃（

3

4

，

3 3

4

）；
若△POB∽△OBA，則∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°．
∴PM=

3

3

OM=

3

4

，
∴P₄（

3

4

，

3

4

）；
③當(dāng)∠POB=90°時(shí)，點(diǎn)P在x軸上，不符合要求．
綜合所述，符合條件的點(diǎn)有四個(gè)，分別是：P₁（3，

3

），P₂（1，

3

），P₃（

3

4

，

3 3

4

），P₄（

3

4

，

3

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題，考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，解直角三角形，相似三角形的有關(guān)知識(shí)，難度適中．運(yùn)用分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程思想是解題的關(guān)鍵．