Question

（2011•營口）如圖（1），直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線y=x²+bx+c與x軸的另一個交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使以C、P、M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）連接AC，在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（4）當(dāng)0＜x＜3時，在拋物線上求一點(diǎn)E，使△CBE的面積有最大值．
（圖（2）、圖（3）供畫圖探究）

Answer 1

分析：（1）把B、C的坐標(biāo)代入拋物線，得出方程組，求出方程組的解即可；
（2）求出C、P的坐標(biāo)，求出PC的值，PC是腰時，有3個點(diǎn)，PC是底時，有1個點(diǎn)，根據(jù)PC的值求出即可；
（3）連接BP，根據(jù)相似得出比例式

BQ

BP

=

BC

BA

和

BQ

BP

=

BC

AB

，代入求出BQ即可；
（4）連接CE、BE，經(jīng)過點(diǎn)E作x軸的垂線FE，交直線BC于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)F（x，-x+3），點(diǎn)E（x，x²-4x+3），推出EF=-x²+3x，根據(jù)S_△CBE=S_△CEF+S_△BEF=

1

2

EF•OB代入求出即可．

解答：解：（1）由已知，得B（3，0），C（0，3），
∴

3=c 0=9+3b+c

，
解得

b=-4 c=3

，
∴拋物線解析式為y=x²-4x+3；

（2）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴對稱軸為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（2，-1），
∴滿足條件的點(diǎn)M分別為M₁（2，7），M₂（2，2

5

-1），M₃（2，

3

2

），M₄（2，-2

5

-1）；

（3）由（1），得A（1，0），
連接BP，
∵∠CBA=∠ABP=45°，
∴當(dāng)

BQ

BP

=

BC

BA

時，△ABC∽△PBQ，
∴BQ=3．
∴Q₁（0，0），
∴當(dāng)

BQ

BP

=

BA

BC

時，△ABC∽△QBP，
∴BQ=

2

3

．
∴Q′（

7

3

，0）．

（4）當(dāng)0＜x＜3時，在此拋物線上任取一點(diǎn)E，連接CE、BE，經(jīng)過點(diǎn)E作x軸的垂線FE，交直線BC于點(diǎn)F，
設(shè)點(diǎn)F（x，-x+3），點(diǎn)E（x，x²-4x+3），
∴EF=-x²+3x，
∴S_△CBE=S_△CEF+S_△BEF=

1

2

EF•OB，
=-

3

2

x²+

9

2

x，
=-

3

2

（x-

3

2

）²+

27

8

，
∵a=-

3

2

＜0，
∴當(dāng)x=

3

2

時，S_△CBE有最大值，
∴y=x²-4x+3=-

3

4

，
∴E（

3

2

，-

3

4

）．

點(diǎn)評：本題綜合考查了二次函數(shù)的綜合，二次函數(shù)的最值，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角形的面積等知識點(diǎn)的應(yīng)用，此題難度偏大，對學(xué)生提出較高的要求，綜合性比較強(qiáng)．