Question

（2010•北海）如圖，已知⊙O上A、B、C三點(diǎn)，∠BAC=30°，D是OB延長線上的點(diǎn)，∠BDC=30°，⊙O半徑為

2

．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）如果AC∥BD，證明四邊形ACDB是平行四邊形，并求其周長；
（3）在圖1中，如果AO⊥BO，BO與AC交于E，如圖2，求S_△ABC：S_△AEB的值．

Answer 1

分析：（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=2∠A=60°，而∠BDC=30°，則∠DCO=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）由AC∥BD得∠ABO=∠BAC=30°，而∠BDC=30°，則∠ABO=∠BDC，可得到AB∥CD，根據(jù)平行四邊形的判定即可得到四邊形ACDB是平行四邊形；在Rt△CDO中，∠BDC=30°，OC=

2

，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到OD=2OC=2

2

，CD=

3

OC=

6

，則DB=OD-OB=

2

，利用平行四邊形ABDC的周長=2（DB+DC）計算即可；
（3）由AO⊥BO，OA=OB得到∠ACB=

1

2

∠AOB=45°，∠ABO=45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=

2

OA=2，而∠CAB=∠BAE，∠ACB=∠ABO，根據(jù)相似三角形的判定得到
△ABC∽△AEB，利用其性質(zhì)得到S_△ABC：S_△AEB=AC²：AB²；過點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為F，在Rt△ABF中，∠BAF=30°，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到BF=

1

2

AB=

1

2

×2=1，AF=

3

BF=

3

，
，并且CF=BF=1，則AC=AF+CF=

3

+1，計算S_△ABC：S_△AEB=AC²：AB²，=（

3

+1）²：2²即可．

解答：（1）證明：連接OC，如圖1，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
又∵∠BDC=30°
∴∠DCO=90°，
∴CD是⊙的切線；

（2）證明：
∵AC∥BD，
∴∠ABO=∠BAC=30°，
而∠BDC=30°，
∴∠ABO=∠BDC，
∴AB∥CD，
∴四邊形ABDC是平行四邊形；
在Rt△CDO中，
∵∠BDC=30°，OC=

2

∴OD=2OC=2

2

，CD=

3

OC=

6

，
∴DB=OD-OB=

2

，
∴平行四邊形ABDC的周長=2（DB+DC）=2（

2

+

6

）；

（3）解：∵AO⊥BO，OA=OB，
∴∠ACB=

1

2

∠AOB=45°，∠ABO=45°，
∴AB=

2

OA=2，
又∵∠CAB=∠BAE，∠ACB=∠ABO，
∴△ABC∽△AEB，
∴S_△ABC：S_△AEB=AC²：AB²，
過點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為F，如圖2，
在Rt△ABF中，∠BAF=30°，
∴BF=

1

2

AB=

1

2

×2=1，AF=

3

BF=

3

，
∵△BCF為等腰直角三角形，
∴CF=BF=1，
∴AC=AF+CF=

3

+1，
∴S_△ABC：S_△AEB=AC²：AB²，=（

3

+1）²：2²=

2+ 3

2

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；相似三角形面積的比等于相似比的平方．也考查了圓周角定理、含30°的直角三角形三邊的關(guān)系、等腰直角三角形的性質(zhì)、切線的判定定理以及平行四邊形的判定定理．