Question

【題目】已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．點(diǎn)Q是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長(zhǎng)線（如圖2）于點(diǎn)P．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，求證：△AQP∽△ABC；
（2）當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PQ⊥AQ，

∴∠AQP=90°=∠ABC，

在△APQ與△ABC中，

∵∠AQP=90°=∠ABC，∠A=∠A，

∴△AQP∽△ABC

（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．

∵∠QPB為鈍角，

∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，

（i）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如題圖1所示．

∵∠QPB為鈍角，

∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，只可能是PB=PQ，

由（1）可知，△AQP∽△ABC，

∴ ，即 ，解得：PB= ，

∴AP=AB﹣PB=3﹣ = ；

（ii）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如題圖2所示．

∵∠QBP為鈍角，

∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，只可能是PB=BQ．

∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，

∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，

∴∠AQB=∠A，

∴BQ=AB，

∴AB=BP，點(diǎn)B為線段AP中點(diǎn)，

∴AP=2AB=2×3=6．

綜上所述，當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為 或6

【解析】（1）由兩對(duì)角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），證明△AQP∽△ABC；（2）當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，有兩種情況，需要分類(lèi)討論．（i）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如題圖1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）關(guān)系計(jì)算AP的長(zhǎng)；（ii）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如題圖2所示．利用角之間的關(guān)系，證明點(diǎn)B為線段AP的中點(diǎn)，從而可以求出AP．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半才能正確解答此題．