【題目】如圖,⊙O中,FG、AC是直徑,AB是弦,FG⊥AB,垂足為點P,過點C的直線交AB的延長線于點D,交GF的延長線于點E,已知AB=4,⊙O的半徑為.
(1)分別求出線段AP、CB的長;
(2)如果OE=5,求證:DE是⊙O的切線;
(3)如果tan∠E=,求DE的長.
【答案】(1)CB=2,AP =2;(2)證明見解析;(3)DE=.
【解析】
(1)根據(jù)圓周角定理由AC為直徑得∠ABC=90°,在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理可計算出BC=2,再根據(jù)垂徑定理由直徑FG⊥AB得到AP=BP=AB=2;
(2)易得OP為△ABC的中位線,則OP=BC=1,再計算出,根據(jù)相似三角形的判定方法得到△EOC∽△AOP,根據(jù)相似的性質(zhì)得到∠OCE=∠OPA=90°,然后根據(jù)切線的判定定理得到DE是⊙O的切線;
(3)根據(jù)平行線的性質(zhì)由BC∥EP得到∠DCB=∠E,則tan∠DCB=tan∠E=,在Rt△BCD中,根據(jù)正切的定義計算出BD=3,根據(jù)勾股定理計算出CD=,然后根據(jù)平行線分線段成比例定理得,再利用比例性質(zhì)可計算出DE=.
解:(1)∵AC為直徑,
∴∠ABC=90°,
在Rt△ABC中,AC=2,AB=4,
∴BC==2,
∵直徑FG⊥AB,
∴AP=BP=AB=2;
(2)∵AP=BP,
∴OP為△ABC的中位線,
∴OP=BC=1,
∴,
而,
∴,
∵∠EOC=∠AOP,
∴△EOC∽△AOP,
∴∠OCE=∠OPA=90°,
∴OC⊥DE,
∴DE是⊙O的切線;
(3)∵BC∥EP,
∴∠DCB=∠E,
∴tan∠DCB=tan∠E=
在Rt△BCD中,BC=2,tan∠DCB==,
∴BD=3,
∴CD==,
∵BC∥EP,
∴,即,
∴DE=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在太原迎澤西大街上有一種智能垃圾桶,這種智能垃圾桶不僅可以供行人休息,燈箱邊的中部還有USB接口可供行人充電.此種垃圾桶的側(cè)面示意圖如圖所示,其中AC∥ED,AB∥EF∥GH,CD=20cm,DE=60cm,EF=100m,GH=80cm,∠CDE=∠EFG=90°,∠DEF=130°,則此種垃圾桶的高度(C到地面的距離)約為________cm.(參考數(shù)據(jù):sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在全國初中數(shù)學聯(lián)賽中,將參賽兩個班學生的成績(得分均為整數(shù))進行整理后分成五組,繪制出如下的頻率分布直方圖(如圖所示),已知圖中從左到右的第一、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.25、0.15、0.10、0.10,第二組的頻數(shù)是40.
(1)第二小組的頻率是_____,并補全這個頻率分布直方圖;
(2)這兩個班參賽的學生人數(shù)是_________;
(3)這兩個班參賽學生的成績的中位數(shù)落在第______組內(nèi).(不必說明理由)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我們定義:如圖1,在△ABC看,把AB點繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°)得到AB',把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β得到AC',連接B'C'.當α+β=180°時,我們稱△A'B'C'是△ABC的“旋補三角形”,△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”,點A叫做“旋補中心”.
特例感知:
(1)在圖2,圖3中,△AB'C'是△ABC的“旋補三角形”,AD是△ABC的“旋補中線”.
①如圖2,當△ABC為等邊三角形時,AD與BC的數(shù)量關系為AD= BC;
②如圖3,當∠BAC=90°,BC=8時,則AD長為 .
猜想論證:
(2)在圖1中,當△ABC為任意三角形時,猜想AD與BC的數(shù)量關系,并給予證明.
拓展應用
(3)如圖4,在四邊形ABCD,∠C=90°,∠D=150°,BC=12,CD=2,DA=6.在四邊形內(nèi)部是否存在點P,使△PDC是△PAB的“旋補三角形”?若存在,給予證明,并求△PAB的“旋補中線”長;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2016年4月23日是我國第一個“全民閱讀日”某校開展了“建設書香校園,捐贈有益圖書”活動.我們在參加活動的所有班級中,隨機抽取了一個班,已知這個班是八年級5班,全班共50名學生.現(xiàn)將該班捐贈圖書情況的統(tǒng)計結(jié)果,繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請你根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)補全上面的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖;
(2)求八年級5班平均每人捐贈了多少本書?
(3)若該校八年級共有800名學生,請你估算這個年級學生共可捐贈多少本書?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù) (為常數(shù)),當自變量的值滿足時,其對應的函數(shù)值的最大值為,則的值為 ( )
A.2或4B.0或-4C.2或-4D.0或4
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】揚州某風景區(qū)門票價格如圖所示,有甲、乙兩個旅行團隊,計劃在端午節(jié)期間到該景點游玩,兩團隊游客人數(shù)之和為100人,若乙團隊人數(shù)不超過40人,甲團隊人數(shù)不超過80人,設甲團隊人數(shù)為人,如果甲、乙兩團隊分別購買門票,兩團隊門票款之和為元.
(1)直接寫出關于的函數(shù)關系式,并寫出自變量的取值范圍;
(2)計算甲、乙兩團隊聯(lián)合購票比分別購票最多可節(jié)約多少錢?
(3)該景區(qū)每年11月、12月為淡季,景區(qū)決定在這兩個月實行門票打五折的優(yōu)惠(打折期間不售團體票),以吸引大量游客,提高景區(qū)收入;景區(qū)經(jīng)過調(diào)研發(fā)現(xiàn),隨著接待游客數(shù)的增加,景區(qū)的運營成本也隨之增加,景區(qū)運營成本(萬元)與兩個月游客總?cè)藬?shù)(萬人)之間滿足函數(shù)關系式:;兩個月游客總?cè)藬?shù)(萬人)滿足:,且淡季每天游客數(shù)基本相同;為了獲得最大利潤,景區(qū)決定通過網(wǎng)絡預約購票的方式控制淡季每天游客數(shù),請問景區(qū)的決定是否正確?并說明理由.(利潤門票收入景區(qū)運營成本)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點A(1,).
(1)試確定此反比例函數(shù)的解析式;
(2)點O是坐標原點,將線OA繞O點順時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段OB,判斷點B是否在此反比例函數(shù)的圖象上,并說明理由.
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