Question

（本題滿分10分）如圖所示，過點(diǎn)F（0，1）的直線y＝kx＋b與拋物線y＝ x²交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）兩點(diǎn)（其中x₁＜0，x₂＜0）．

（1）求b的值．

（2）求x₁•x₂的值

（3）分別過M、N作直線l：y＝－1的垂線，垂足分別是M₁、N₁，判斷△M₁FN₁的形狀，并證明你的結(jié)論．

（4） 對于過點(diǎn)F的任意直線MN，是否存在一條定直線m，使m與以MN為直徑的圓相切．如果有，請求出這條直線m的解析式；如果沒有，請說明理由．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

 

解：（1）把點(diǎn)F（0，1）坐標(biāo)代入y=kx＋b中得b=1.        ……（1分）

（2）由y= x²和y=kx＋1得 x²-kx-1=0化簡得

x₁=2k-2     x₂=2k＋2   x₁·x₂=-4              ……（3分）[

（3）△M₁FN₁是直角三角形（F點(diǎn)是直角頂點(diǎn)）.理由如下：設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)是F₁

FM₁²=FF₁²+M₁F₁²=x₁²＋4    FN₁²=FF₁²＋F₁N₁²=x₂²＋4

M₁N₁²=（x₁-x₂）²=x₁²+x₂²-2x₁x₂=x₁²+x₂²+8

∴FM₁²+FN₁²=M₁N₁²∴△M₁FN₁是以F點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形.   ……（6分）

（4）符合條件的定直線m即為直線l：y=-1.

過M作MH⊥NN₁于H，MN²=MH²+NH²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（x₁-x₂）²+［（kx₁+1）-(kx₂+1)］²=（x₁-x₂）²+k²（x₁-x₂）²=(k²+1)（x₁-x₂）²=(k²+1)(4 ）²=16（k²+1)² 

∴MN=4(k²+1)

分別取MN和M₁N₁的中點(diǎn)P，P₁，

PP₁= （MM₁+NN₁）=  (y₁+1+y₂+1)= （y₁+y₂）+1= k(x₁+x₁)+2=2k²+2=2(k²+1)     ∴PP₁= MN

即線段MN的中點(diǎn)到直線l的距離等于MN長度的一半.

∴以MN為直徑的圓與l相切.    ……（10分）

 

 

 

 

 解析:略