Question

【題目】如圖，在中，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，作交射線于點(diǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求與的大小關(guān)系；

（2）當(dāng)等于多少時(shí)，是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）FG=FC(2) 6-3 或3 或6+3

【解析】

（1）在DC上取一點(diǎn)M，使DM＝DF,根據(jù)中位線和等腰直角三角形及線段的關(guān)系得到CM＝EF，再判斷出∠FCM＝∠GFE，即可得出△EFG≌△MCF（ASA），即可求解；

（2）分點(diǎn)點(diǎn)F在DE上和DE的延長(zhǎng)線上，構(gòu)造直角三角形，建立方程求解即可得出結(jié)論．

（1）如圖1，在DC上取一點(diǎn)M，使DM＝DF，

∵AC＝BC，∠ACB＝90，

∴∠A＝∠ABC＝45，

點(diǎn)D，E是AC，AB的中點(diǎn)，

∴DE＝BC＝3，AD＝CD＝AC＝3，DE∥BC，

∴CD＝DE，∠ADE＝∠CDE＝∠ACB＝90，∠AED＝∠ABC＝45

∴CD-DM=DE-DF,

∴CM＝EF，∠DMF＝45＝∠AED，

∴∠CMF＝∠FEG，

∵CF⊥FG，

∴∠EFG＋∠CFD＝90，

∵∠DCF＋∠CFD＝90，

∴∠FCM＝∠GFE，

在△EFG和△MCF中，

∴△EFG≌△MCF（ASA），

∴FG＝FC；

（2）設(shè)DF=x，

∵AC=BC=6,

∴AB=

∴BE=AE=AB=3

①當(dāng)點(diǎn)F在DE上時(shí)，如圖2，

∵△BFG為等腰三角形，

∴FG＝BG，

過(guò)點(diǎn)G作GN⊥DE于N，

∴∠FGN＋∠GFN＝90，

∵CF⊥FG

∴∠CFD＋∠GFN＝90，

∴∠CFD＝∠FGN，

又CF=FG, ∠CDF=∠FNG＝90

∴△CDF≌△FNG，

∴FN＝CD＝3，

∴EN＝DF＝NG，

∴EG＝EN＝NG＝x，

∴FG＝BG＝BE-EG=3-x，

在Rt△FNG中，FG2NG2＝FN2，

即：（3-x）2x2＝9，

∴x＝6＋3（舍）或x＝63，

②當(dāng)點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3

∵△BFG為等腰三角形，

Ⅰ、當(dāng)BF＝BG時(shí)，

過(guò)點(diǎn)B作BP⊥DE于P，

∴四邊形BCDP是矩形，

∴BP＝CD＝3，DP＝BC＝6，

∴PF＝DFDP＝x6，

在圖2中，FM＝DF＝x，

∴EG＝FM＝x，

∴BF＝BG＝EGBE＝x3＝（x3），

在Rt△BPF中，BF2PF2＝BP2，

即：[（x3）]2（x6）2＝9．

∴x＝3（舍）或x＝3，

Ⅱ、當(dāng)BG＝FG時(shí)，

BG＝FG＝CF＝；EG＝MF＝DF＝x；BE＝3

∴＋3＝x，

整理得：x212x＋9＝0

解得：x＝6＋3或x＝63（不符題意舍去），

當(dāng)BF＝FG時(shí)，CF＝FG＝BF＝，

∵CF＝，

∴＝，

∴x＝3（舍）

即：△BFG為等腰三角形時(shí)，x的值為6-3或3或6+3．